对于 Reddy Mikks 模型，构造下面约束的每一种情况，并将它们表示为线性的左端项和常数的右端项： （a）内墙涂料的日需求量比外墙涂料的日需求量至少多 1 吨； （c）内墙涂料的需求量不能少于外墙涂料的需求量； （e）内墙涂料与内、外墙涂料的总产量之比不能超过 0.5。

解： x 1 = 外墙涂料的日生产吨数 ; x 2 = 内墙涂料的日生产吨数 . x_1 = \text{外墙涂料的日生产吨数}; \\ x_2 = \text{内墙涂料的日生产吨数}. x1​=外墙涂料的日生产吨数;x2​=内墙涂料的日生产吨数. （a） − x 1 + x 2 ≥ 1 - x_1 + x_2 \geq 1 −x1​+x2​≥1； （c） x 1 − x 2 ≤ 0 x_1 - x_2 \leq 0 x1​−x2​≤0； （e） 0.5 x 1 − 0.5 x 2 ≥ 0 0.5x_1 -0.5 x_2 \geq 0 0.5x1​−0.5x2​≥0。

对于 Reddy Mikks 模型的可行解 x 1 = 2 , x 2 = 2 x_1 = 2, x_2 = 2 x1​=2,x2​=2，确定原料 M1 和 M2 没有用完的量。

解： 原料 M1 没有用完的量 = 24 − ( 6 x 1 + 4 x 2 ) = 24 − ( 6 ∗ 2 + 4 ∗ 2 ) = 4 24 - (6x_1 + 4x_2) = 24 - (6 * 2 + 4 * 2) = 4 24−(6x1​+4x2​)=24−(6∗2+4∗2)=4； 原料 M2 没有用完的量 = 6 − ( x 1 + 2 x 2 ) = 6 − ( 2 + 2 ∗ 2 ) = 0 6 - (x_1 + 2x_2) = 6 - (2 + 2 * 2) = 0 6−(x1​+2x2​)=6−(2+2∗2)=0。

某公司生产 A 和 B 两种产品。产品 A 的销售量至少是产品 A 与 产品 B 销售总和的 80%。然而，公司每天不能销售多于 100 单位的产品 A。两种产品使用同一种原料，并且最大日可用量是 240 磅。生产每单位产品 A 需要原料 2 磅，生产每单位 B 需要原料 4 磅。产品 A 和 产品 B 的单位利润分别是 20 美元和 50 美元。试为该公司确定最优的生产策略。

解： x 1 = 产品 A 的单位数 x 2 = 产品 B 的单位数 x_1 = \text{产品 A 的单位数}\\ x_2 = \text{产品 B 的单位数} x1​=产品 A 的单位数x2​=产品 B 的单位数 则 max ⁡ z = 20 x 1 + 50 x 2 \max z = 20x_1 + 50x_2 maxz=20x1​+50x2​

s.t. { − 0.2 x 1 + 0.8 x 2 ≤ 0 x 1 ≤ 100 2 x 1 + 4 x 2 ≤ 240 x 1 , x 2 ≥ 0 \text{s.t.} \begin{cases} -0.2x_1+0.8x_2 \leq 0 \\ x_1 \leq 100 \\ 2x_1 + 4x_2 \leq 240 \\ x_1, x_2 \geq 0 \\ \end{cases} s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​−0.2x1​+0.8x2​≤0x1​≤1002x1​+4x2​≤240x1​,x2​≥0​ Matlab 代码:

最优解： ( x 1 , x 2 ) = ( 80 , 20 ) (x_1, x_2) = (80, 20) (x1​,x2​)=(80,20)， z = 2600 z = 2600 z=2600 美元。

某人打算将 5000 美元投资于下一年度的两类项目：投资项目 A 可盈利 5%，投资项目 B 可盈利 8%。市场研究表明，至少应有 25% 的投资分配给项目 A，至少应有 50% 的投资分配给项目 B。进一步假设，项目 A 的投资至少是项目 B 的投资的一半。如何为这两类投资项目分配这笔专款？

解： 令 x 1 = 项目 A 的投资额 x 2 = 项目 B 的投资额 x_1 = \text{项目 A 的投资额} \\ x_2 = \text{项目 B 的投资额} x1​=项目 A 的投资额x2​=项目 B 的投资额

max ⁡ z = 0.05 x 1 + 0.08 x 2 \max z = 0.05x_1 + 0.08x_2 maxz=0.05x1​+0.08x2​

s.t. { x 1 + x 2 ≤ 5000 − 0.75 x 1 + 0.25 x 2 ≤ 0 0.5 x 1 − 0.5 x 2 ≤ 0 − x 1 + 0.5 x 2 ≤ 0 x 1 , x 2 ≥ 0 \text{s.t.} \begin{cases} x_1 + x_2 \leq 5000 \\ -0.75x_1 + 0.25x_2 \leq 0 \\ 0.5x_1 -0.5 x_2 \leq 0 \\ -x_1 + 0.5x_2 \leq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases} s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+x2​≤5000−0.75x1​+0.25x2​≤00.5x1​−0.5x2​≤0−x1​+0.5x2​≤0x1​,x2​≥0​

Matlab 代码：

最优解： ( x 1 , x 2 ) = ( 1666.7 , 3333.3 ) (x_1, x_2) = (1666.7, 3333.3) (x1​,x2​)=(1666.7,3333.3)， z = 350 z = 350 z=350。

怀俄明电力公司拥有一座蒸汽涡轮机发电厂。怀俄明州储藏有丰富的煤，公司用煤发电。然而，这可能导致排放物不符合环保署的标准。环保署的法规限定，每吨煤燃烧后二氧化硫的排放量不能超过 2000 微升/升，从发电厂排出的烟尘累计不能超过每小时 20 磅。公司使用两种等级的煤粉 C1 和 C2 来进行蒸汽发电。这两种等级的煤粉在燃烧前通常被混合在一起。为简单起见，可以假定硫的排放量是两种煤粉混合比例的加权平均。下列数据是基于两种等级的煤每小时消耗量为 1 吨得到的。 （a）确定两种煤混合的最优比例。 （b）求烟尘的排放量限制放松 1 磅对每小时产生的蒸汽量的影响。

解： 令 x 1 = 煤粉 C1 每小时消耗的吨数 x 2 = 煤粉 C2 每小时消耗的吨数 x_1 = \text{煤粉 C1 每小时消耗的吨数} \\ x_2 = \text{煤粉 C2 每小时消耗的吨数} x1​=煤粉 C1 每小时消耗的吨数x2​=煤粉 C2 每小时消耗的吨数

max ⁡ z = 12000 x 1 + 9000 x 2 \max z = 12000x_1 + 9000x_2 maxz=12000x1​+9000x2​

s.t. { − 200 x 1 + 100 x 2 ≤ 0 2.1 x 1 + 0.9 x 2 ≤ 20 x 1 , x 2 ≥ 0 \text{s.t.} \begin{cases} -200x_1 + 100x_2 \leq 0 \\ 2.1x_1 + 0.9x_2 \leq 20 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases} s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​−200x1​+100x2​≤02.1x1​+0.9x2​≤20x1​,x2​≥0​

Matlab 代码：

最优解： ( x 1 , x 2 ) = ( 5.1282 , 10.2564 ) (x_1, x_2) = (5.1282, 10.2564) (x1​,x2​)=(5.1282,10.2564)， z = 153846 z = 153846 z=153846。 （a）最优混合比例： x 1 : x 2 = 1 : 2 x_1 : x_2 = 1:2 x1​:x2​=1:2； （b） max ⁡ z = 12000 x 1 + 9000 x 2 \max z = 12000x_1 + 9000x_2 maxz=12000x1​+9000x2​

s.t. { − 200 x 1 + 100 x 2 ≤ 0 2.1 x 1 + 0.9 x 2 ≤ 21 x 1 , x 2 ≥ 0 \text{s.t.} \begin{cases} -200x_1 + 100x_2 \leq 0 \\ 2.1x_1 + 0.9x_2 \leq 21 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases} s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​−200x1​+100x2​≤02.1x1​+0.9x2​≤21x1​,x2​≥0​

Matlab 代码：

最优解： ( x 1 , x 2 ) = ( 5.3846 , 10.7692 ) (x_1, x_2) = (5.3846, 10.7692) (x1​,x2​)=(5.3846,10.7692)， z = 161540 z = 161540 z=161540。 最优比： x 1 : x 2 = 1 : 2 x_1 : x_2 = 1:2 x1​:x2​=1:2，产生的蒸汽增加了 161538 - 153846 = 7692 磅/小时。

一条装配线由 3 个相邻的工作站组成，生产两种型号的收音机 HiFi-1 和 HiFi-2。下表提供了 3 个工作站的装配时间。 每天维护工作站 1、工作站 2、工作站 3 所好用的时间分贝占每个工作站的总可利用时间的 10%，14%，12%，每个工作站一天的最大可利用时间是 480 分钟。确定最优的生产策略，使 3 个工作站的总空闲（或未使用）时间最少。

解： 令 x 1 = HiFi-1 的产量 x 2 = HiFi-2 的产量 x_1 = \text{HiFi-1 的产量} \\ x_2 = \text{HiFi-2 的产量} \\ x1​=HiFi-1 的产量x2​=HiFi-2 的产量

min ⁡ z = 480 ∗ ( 1 − 10 % + 1 − 14 % + 1 − 12 % ) − ( 15 x 1 + 15 x 2 ) = 1267.2 − ( 15 x 1 + 15 x 2 ) \min z = 480*(1 - 10\% + 1 - 14\% + 1 - 12\%) - (15x_1 + 15x_2) = 1267.2-(15x_1+15x_2) minz=480∗(1−10%+1−14%+1−12%)−(15x1​+15x2​)=1267.2−(15x1​+15x2​)

s.t. { 6 x 1 + 4 x 2 ≤ 432 5 x 1 + 5 x 2 ≤ 412.8 4 x 1 + 6 x 2 ≤ 422.4 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \text{s.t.} \begin{cases} 6x_1 + 4x_2 \leq 432 \\ 5x_1 + 5x_2 \leq 412.8 \\ 4x_1 + 6x_2 \leq 422.4 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \\ \end{cases} s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​6x1​+4x2​≤4325x1​+5x2​≤412.84x1​+6x2​≤422.4x1​,x2​,x3​≥0​

Matlab:

最优解： ( x 1 , x 2 ) = ( 50.88 , 31.68 ) (x_1, x_2) = (50.88, 31.68) (x1​,x2​)=(50.88,31.68)， z = 28.8 z = 28.8 z=28.8。

《运筹学基础 第10版 ⋅ \cdot ⋅ 全球版》 哈姆迪 ⋅ \cdot ⋅ 塔哈（Hamdy A. Taha）著

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