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基本不等式 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　) A．1 B． C．2 D．3 2．(2021·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是(　　) A．2 B．3 C．3 D．4 3．(2021·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　) A．6 B．2 C． D． 4．(2021·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________． 6．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 三、解答题 7．(10分)(2021·合肥高一检测)(1)已知x(2)求y＝(x>1)的最小值． 能力过关 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2021·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是(　　) A．24 B．2 C．5 D． 2．(多选题)(2021·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　) A.y＝x(2－x) 　 B．y＝ C．y＝＋ D．y＝x2＋－1 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 4．(2021·天津高一检测)若x5. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________． 三、解答题 6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值． 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　) A．1 B． C．2 D．3 分析选D.由题意得，mn≤＝＝3， 当且仅当m＝n时取等号，所以mn的最大值是3. 2．(2021·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是(　　) A．2 B．3 C．3 D．4 分析选D.因为正数a，b满足ab＝10，则a＋2b≥2＝2＝4，即a＋2b≥4，当且仅当a＝2b＝2时，取等号，故a＋2b的最小值为4，故选D. 3．(2021·南通高一检测)函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　) A．6 B．2 C． D． 分析选B.因为x>－2，所以x＋2>0， 所以y＝x＋＝x＋2＋－2 ≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝且x>－2，即x＝2时等号成立． 4．(2021·扬州高一检测)当x>0时，函数y＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 分析选B.因为x>0， 所以y＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 即y＝有最大值1. 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________． 分析由题得x＝y＋1>1，所以y>0. 所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋1≥2＋1＝3，(当且仅当y＝1时取等号)所以函数的最小值为3. 答案：3 6．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 分析因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0. ≤＝. 当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立． 所以≤. 答案：≤ 三、解答题 7．(10分)(2021·合肥高一检测)(1)已知x(2)求y＝(x>1)的最小值． 分析(1)因为x所以2x－5所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤ －2＋4＝2， 当且仅当5－2x＝时，即x＝2时等号成立． 所以y＝2x－1＋的最大值为2； (2)因为x>1，所以x－1>0，y＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当x－1＝， 即x＝1＋时等号成立， 所以y＝(x>1)的最小值2＋2. 能力过关 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2021·盐城高一检测)已知a>0，b>0，且＋＝，则ab的最小值是(　　) A．24 B．2 C．5 D． 分析选B.因为a>0，b>0， 所以＝＋≥， 所以ab≥2，当且仅当＝时取等号， 所以ab的最小值是2. 2．(多选题)(2021·怀化高一检测)当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　) A.y＝x(2－x) 　 B．y＝ C．y＝＋ D．y＝x2＋－1 分析选BD.对于A中，函数y＝x(2－x)＝－x2＋2x，此时函数在(0，＋∞)上无最小值，所以A不正确； 对于B中，由x>0，可得y＝＝x＋≥2， 当且仅当x＝1时取等号，所以B正确； 对于C中，y＝＋＝t＋≥2， 当且仅当t＝，t＝1时，等号成立， 但是t＝≥，故C不正确； 对于D中，函数y＝x2＋－1＝x2＋1＋－2≥2－2＝2， 当且仅当x2＋1＝2，即x＝1时取等号，D正确． 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 分析因为 ＝， 因为x>0，y>0，x＋2y＝5，xy>0， 所以≥＝4， 当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立， 故所求的最小值为4. 答案：4 4．(2021·天津高一检测)若x分析当x0，y＝3x＋＝5－≤5－2＝3， 当且仅当5－3x＝时， 即当x＝时，等号成立，因此，y的最大值为3. 答案：　3 5. 规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________． 分析1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0， 所以＝1或＝－2(舍)，所以k＝1. ＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立． 答案：1　3 三、解答题 6．(10分)若a>b，且ab＝2，求的最小值． 分析＝＝＝(a－b)＋＝2＝4，当且仅当a－b＝， 即a＝＋1，b＝－1时，等号成立， 所以的最小值为4.

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