来源：雪球App，作者： HTFE，（https://xueqiu.com/1952901955/150150129）

林晓明    S0570516010001    研究员

黄晓彬    S0570516070001    研究员

张   泽    S0570518080005    联系人

源洁莹    S0570119080125    联系人

报告发布时间：2020年5月25日

摘要

通过多项式目标优化法引入高阶矩到马科维茨模型中，提升组合夏普率

本篇报告介绍了资产配置中经典的有效前沿理论和马科维茨模型的数学原理和应用方法，并分析马科维茨模型中对收益和风险的假设与实际市场不符的情况，从而考虑引入高阶矩来拓展模型在资产配置中的适用性。通过测试多项式优化方法（PGP）在原模型基础上加入偏度和峰度的影响，我们发现加入三阶中心矩偏度后的模型能够有效地提高组合夏普比率，并且更换底层资产和回测区间后，模型的提升依旧可靠。

马科维茨模型构建出以均值方差为基础的有效前沿，明确了组合投资目标

马科维茨模型固定资产组合的收益率，通过资产组合方差最小化的方式构建了有效前沿。当组合中不含无风险资产时，有效前沿为双曲线的一部分，前沿上的资产组合收益率变化区间在取决于单一资产收益率的上下界。当组合中包含无风险资产时，有效前沿为一条直线。通过效用函数得到的“无差异曲线”与有效前沿的切点即为理论上的效用最大化组合。

马科维茨模型收益与风险的假设过于理想化，可引入高阶矩进行改进

以方差作为风险的衡量指标来自于对效用函数的泰勒展开的二阶形式，该方法的一个基本假设是每种资产的收益率呈正态分布，而实际市场中的资产收益率分布通常会呈现尖峰厚尾的特征，这导致使用均值方差方法进行资产配置时结果与预期会产生一定误差。我们通过引入收益分布的高阶矩来更精准地刻画资产的实际收益分布，这一过程可以使用多项式目标优化的方法来实现。

通过多项式目标优化方法，在模型中考虑偏度可以提升模型的配置表现

多项式目标优化方法可对最大化收益均值、最小化方差、最大化偏度和最小化峰度等多个目标设定不同权重得到目标优化函数，相比于以收益率均值和方差为双目标的基础模型，将收益均值、方差和偏度设定为目标的偏度模型的夏普比率有明显提升。这一提升在更换股票和商品等底层资产，以及在不同的时间段内测试都依然有效。但由于峰度在刻画收益分布的极端情况时具有双向性，因此在偏度模型的基础上再加入峰度后的模型提升并不明显。

风险提示：马科维茨模型和改进后的模型都是基于历史经验的总结，如果市场规律改变，存在失效的可能性；报告中的各类指数只是作为常见指数，并不能完全代表A 股或全球市场，请投资者谨慎、理性地看待。

马科维茨模型核心在于明确组合投资目标并提供定量求解方案

1952年马科维茨（Markowitz）发表《资产组合理论》，文中首次提出均值-方差资产组合模型，分别用收益均值和方差表示预期收益率与风险，将资产配置问题转化成数学上的二次规划问题。马科维茨模型的目的是寻找给定收益下风险最小化，或给定风险下收益最大化的投资组合，这些组合构成了有效前沿。该模型的提出标志着现代资产组合理论的开端。

“有效前沿”是以均值方差作为收益风险度量基础的理论最优资产组合

马科维茨在1952年首先提出有效前沿（Efficient Frontier）的概念，并通过马科维茨模型找出有效前沿。在1964年，其学生夏普（Sharpe）正式发表资本资产定价模型（CAPM），该模型以《资产组合理论》为基础，成为了现代金融学的奠基石。

有效前沿亦称为有效边界，它存在的前提假设是投资者都是理性的，他们在厌恶风险的同时追求财富最大化，即在相同的风险下力求获得最大的收益，或在相同的收益下希望承担最小的风险。满足这些条件的有效投资组合构成有效前沿。马科维茨模型可以通过求解二次规划问题得到有效前沿。

在马科维茨的资产组合理论中，以不同的权重将风险资产进行组合，将得到一系列具有不同期望收益和标准差的风险资产组合。在以资产组合标准差为横坐标、预期收益率为纵坐标的二维平面中把这些风险资产组合描绘出来，可以得到风险资产的最小方差边界，如图中曲线BAC。其中，A点为这条曲线上标准差最小的一点，称之为最小方差组合（Minimum-Variance Portfolio, MVP）。这一最小方差点A将曲线分为两个部分，曲线在 A点以上的部分就是投资组合的有效前沿。这是因为在标准差相同的情况下，投资者会选择更高的期望收益。例如，上边沿的B点与下边沿的C点具有相同的标准差，但B点对应的预期收益率高于C点，故投资者会选择B点。

我们以标普500指数、欧洲斯托克50指数和上证指数为例，更加清楚地展示如何求解有效前沿。下图中的三个红点是这三个资产在1995年12月-2019年12月期间的年化收益率和标准差，我们以一百组随机权重得到这三个资产的不同组合，并用蓝点把组合的收益率-标准差标记出来。可以看到，这些资产组合都分布于一条曲线的内部，曲线的上半部边界就是这些资产组合的有效前沿。

如果所投资产中不包含无风险资产，那么资产组合有效前沿为双曲线的一部分，而包含了无风险资产的资产组合有效前沿是一条直线。有效前沿既可以通过上述随机生成组合的方式来绘制，也可以直接将参数代入解析式进行求解。详细的推导过程可见附录。

效用函数生成的 “无差异曲线”与“有效前沿”的切点为效用最大化组合

在得到有效前沿后，如果投资者有明确的收益或者风险的要求，那么符合自己要求的最优资产组合可以在有效前沿上直接找到。但也可以用效用函数来刻画投资者的不同的投资偏好。

效用函数描述的是投资者在投资中所获得的效用与所选择的资产组合之间的数量关系。在马科维茨模型中，资产组合的特征被简化为预期收益E(r)和方差σ^2两项，因此对投资者而言，效用函数可表示为U(E(r)，σ^2)。这时有效前沿或者资本市场线上的每个点（即每个投资组合）都会对应于一个效用值，投资者则可以选择一个使得效用值最大的投资组合。

为了更直观地表示投资者的选择过程，我们引入“无差异曲线”的概念。如果固定效用函数U(E(r)，σ^2)=U_0，那么满足这个方程的预期收益率和标准差会构成一条曲线，曲线上的每一个点（投资组合）给投资者带来的效用是相同的，这条曲线就是无差异曲线。随着资产波动增加，风险厌恶的投资者往往需要更高的预期收益来补偿风险增加带来的效用减少，这就使得风险厌恶投资者的无差异曲线的形状是向下凸的。如下图所示，I_1、I_2、I_3为特定风险厌恶水平的投资者的无差异曲线，其中I_2与有效前沿相切于点X。事实上，I_2线上所有组合都优于I_3，I_1线上所有组合优于I_2，但是市场上没有位于I_1线上的投资组合。因此，投资者会选择I_2线上的组合X以达到期望效用最大化，这是该类投资者的最优组合。

同样我们也用实例来说明投资者如何通过效用函数来选择最优的投资组合。假定一名风险厌恶投资者的效用函数可以表示为

U=E(r)-σ^2

这里E(r)和σ^2和分别表示资产组合预期收益和方差，表示投资者的效用。下图左给出了部分上述效用函数的无差异曲线，其中位于上方的无差异曲线的效用高于下方。把资产组合的有效前沿与无差异曲线绘制在同一图中可以得到如下右图。我们希望在有效前沿上找到一点使其得到的效用值最大。从图中不难看出，对于效用值高于0.0675的无差异曲线与有效前沿均无交点，而效用值为0.0675的无差异曲线恰与有效前沿相切，因此切点处的资产组合产生的效用值为0.0675，高于有效前沿上的其他资产组合。可计算出最优组合的资产权重为标普500：上证综指：欧洲斯托克指数=66%：34%：0，组合收益率为9.01%，标准差为15.03%，效用值为0.0675。

均值、方差、偏度、峰度：低阶到高阶多角度刻画资产收益分布

上一章介绍了马科维茨模型的基本原理，由该模型能够计算出资产组合的有效前沿，并根据效用函数得到最优资产组合。但马科维茨模型的推导基于很多严格的假设，主要包括：投资者在进行投资选择时，仅依赖于之前某一段时间内的资产收益的概率分布；资产收益率的分布由预期收益率及其方差确定，即资产收益率服从正态分布；投资者对资产风险的衡量完全取决于方差等。

其中的部分假设过于理想化，与实际情况相差较大，导致使用传统马科维茨模型时可能会存在以下几点问题：

1、  资产的收益率难以预测，根据历史数据得到的资产收益率分布往往不是正态分布；

2、  最优化过程对收益率较为敏感，根据Chopra 和 Ziemba(1993)的研究，资产收益率的估计误差带来的效用损失远远高于协方差；

3、  方差对风险进行刻画时存在无法区分上行和下行风险，容易低估尾部风险的问题，投资者可能会考虑除了方差外的其他指标作为风险的衡量，包括下半方差和VaR等（关于风险度量可参考华泰金工2019年11月研报《风险预算模型如何度量风险更有效》）等；

4、  仅以预期收益E(r)和方差σ^2两项刻画的效用函数并不能完全反映投资者的投资偏好；

5、  部分资产组合需要进行卖空或者加杠杆操作才可实现，而实际投资中会对这类操作有所限制。

本章将重点分析马科维茨模型中收益率分布假设在实际应用过程的存在的不足，并引入偏度、峰度等更高阶的角度对资产收益进行更全面的定量刻画。

实际资产收益率分布呈尖峰厚尾，仅用均值、方差不足以刻画其完整形态

马科维茨模型中一个基本假设是每种资产的收益率呈正态分布，因为当资产收益率服从正态分布时，均值和方差两个参数就可以完全刻画资产收益率的分布。但实际市场中的资产收益率分布通常会呈现“尖峰厚尾”的特征，也就是相比于正态分布来说，资产集中在平均收益率上的次数更多，极端收益或损失出现的概率也更大。

下图分别展示了上证综指、标普500和欧洲斯托克50指数1995年12月到2019年12月之间的月度收益率组成的直方图，红色区域包络线为根据收益率数据拟合出来的核密度曲线，红色曲线为同均值同方差下的正态分布密度曲线。可以看出，红色区域在均值处（横轴的0附近）较红色曲线更突出，同时在边缘处（横轴0.1的右侧以及-0.1的左侧，）也高于红色曲线，也就是说实际收益率的分布较正态分布有着更高的峰部，更宽的尾部，即尖峰厚尾的特征。

直观上看，上面三个指数的收益率分布与正态分布存在差异，我们进一步进行KS检验（即通过检验序列的偏度和峰度与正态分布的偏离来验证是否服从正态分布），发现p值远小于0.0001，说明了资产收益率服从正态分布的这种假设不成立。

正是因为资产收益率通常不服从正态分布，使用历史时间窗口期的平均收益率和波动率来代替优化函数中的预期收益率和预期波动率未必能优化出理想的投资组合。因此仅靠均值和方差来量化每一组资产会使我们失去部分有效信息。一个较为有效的拓展角度是考虑资产收益率的偏度和峰度，进而更好地描述收益率的分布。

增大偏度和减小峰度对资产收益率有正向影响，虽与低阶同源但影响差异

实际上如果把资产收益率作为随机变量，那么它的均值、方差、偏度和峰度分别对应其一、二、三、四阶中心矩，四个指标都是用来刻画收益率这一随机变量的分布特征，只不过观察的角度存在差异。简单来说，收益率均值越大，意味着这个资产的收益大概率越高；收益率的方差越小，意味着该资产的收益越稳定；收益率的偏度越大，说明该资产出现大幅增长的概率增加；收益率的峰度越小，则表明出现显著低于平均收益的概率较小。

峰度和偏度分别是用标准差进行齐次化后的三阶中心矩和四阶中心矩，对于一个收益率为r的资产，它的偏度定义为：

其中σ表示资产的标准差；

它的峰度定义为

在投资领域，资产的偏度越高，意味着正收益率出现时数值较大，而出现的负收益率时数值较小；资产的峰度则用于衡量收益率中离群值的出现概率，峰度越高表示更有可能出现与平均值相距较远的离群值。

为了更加清楚的了解偏度和峰度对投资收益的影响，我们将把标普500指数过去24年（1996-2019）的月度收益率按年度划分为24个收益率序列，并按照第一年的月平均收益和标准差调整其他收益率序列（把序列标准化后乘上第一年的标准差，再加上第一年的平均收益，这一过程不改变序列的偏度和峰度），这样得到了24组均值和方差均相同，但偏度和峰度不同的收益率序列。从下图可以看出随着偏度的增大和峰度的减少，收益率序列的总收益（气泡的大小表示序列的总收益）也会增加，这就反映出高偏度和低峰度资产的优势——大概率能够获取更高的总收益。

相关研究文献表明（Arditti(1967,1971)、Jean(1971,1973)、Levy and Sarnat(1972)），偏度和峰度同样会影响投资者的判断。投资者通常更倾向于拥有高偏度和低峰度的资产，而这一倾向无法通过传统的马科维茨模型来体现，因此我们可以通过在原模型中加入偏度和峰度的方式更好地反映收益率的实际情况，因此后文我们将尝试考虑收益率偏度和峰度的影响，并构建多目标优化方式，以提升组合表现。

构建包含最大化偏度和最小化峰度的多目标优化，提升组合表现

上一章分析了仅依赖均值和方差的一二阶矩对收益率的分布进行刻画与实际情形存在明显差距，一个自然的改进思路便是引入高阶矩，构建多目标优化模型。为了到达预期目标，首先我们介绍可以同时容纳多个优化目标的方法：多项式目标优化方法（Polynomial Goal Programming）。

采用“多项式目标优化方法”可同时实现对多个目标的优化求解

多项式目标优化方法1988年由Tayi & Leonard提出，最初是用于管理银行资产负债表中相互冲突的目标实现，具体方法如下：

增加最大化偏度目标，可同时提高资产组合的收益率和夏普比率

我们先来观察加入偏度之后的模型（即偏度模型）对资产配置结果的影响。与前面一样，我们将底层资产定为标普500、欧洲斯托克50和上证综指，并使用其1995年12月-2019年12月之间的月度收盘价，共计864条数据。同时用资产在前24个月（即过去两年）的平均收益率和波动率作为下一个月度的预期收益率和波动率进行权重估计。因此实际资产配置区间为1997年12月-2019年12月。

模型需要考虑偏好系数 λ_i(i=1,2,3,4) ，其中对收益的偏好λ_1和对方差的偏好系数λ_2属于基础模型中的参数，而λ_3和λ_4属于改进模型，需要我们来决定取值范围。我们希望能够找到一组改进模型的参数λ_3,λ_4，对于任意给定的参数为λ_1、λ_2的基础模型，通过改进模型进行资产配置的结果要优于基础模型（用夏普比率提升的绝对数值来衡量）。

由于难以得到解析证明，而我们在使用数值方法去证明时受到计算能力的限制，很难对所有正实数对得到结论，因此需要将目标进行简化，如果下述两点成立，我们就能得到改进模型相对基础模型有显著提升的结论：

1、参数λ_1、λ_2的变化对最终资产配置的影响是稳定的，即λ_1、λ_2在一个小范围变化时，最终夏普比率的变化也在一个小范围变动；

2、在一个相对合理的λ_3、λ_4的区间，改进模型较基础模型有显著提升（即夏普比率提升的幅度远大于λ_1、λ_2自身变化的影响）。

基础模型和偏度模型对偏好系数等参数不敏感，后续研究可以固定该组参数

我们先来考察基础模型中对收益率的偏好系数λ_1和对方差的偏好系数λ_2在什么样的参数空间下是相对合理的。文献（Lai, Yu and Wang（2006）、Hoe, Jaaman and Isa（2013）等）中通常选择参数λ_1、λ_2为0，1，2，3（0表示忽略该参数对应的目标影响），因此在下述实证中我们将λ_1、λ_2分别取1，2，3，4，5得到25个模型：

整体来看，随着λ_1的减小和λ_2的增大，收益率和波动率都会增加，但收益率增加的幅度高于波动率，这导致夏普比率也随之增大。并且整体变化的幅度相对较小，我们认为参数调整目标中的第一条要求是满足的。因此在后续研究中我们选择一部分有代表性的基础模型来简化计算量。考虑到收益率和波动率的变化趋势，我们使用以下三个基础模型：

λ_1=5，λ_2=1 保守型

λ_1=1，λ_2=1 稳健型

λ_1=1，λ_2=5 激进型

基础模型确定之后，我们来考察改进模型中的偏度偏好系数λ_3取不同值时，偏度模型相对于基础模型而言是否有提升，此时基础模型中λ_1=1，λ_2=1。下面的图表是λ_3在[0,10]之间取值，步长为0.1，共计101个点得到的结果：

可以看到，当λ_3>1时，收益率和波动率相较基础模型均有所上升，夏普比率也得到提高。而当λ_3处于[0,1]这一区间时，由于该参数位于幂指数项上，如果小于1可能导致对误差变动方向与其他参数不一致，因此结果呈现不稳定的情况，我们在使用该模型时避免选择这一区间的参数值。而在λ_3>1时偏度模型对夏普比率均有提升，因此我们认为参数调整目标中的第二条要求也满足。

为了防止优化过程中极端情况的发生，我们下面使用的偏度模型均为λ_3=1，3，5，7，9共5个模型的平均结果作为模型优化程度的衡量。也可以理解为，在实际操作中把自身资金均分为5份，分别按照λ_3=1，3，5，7，9的偏度模型进行资产配置，最终将各自收益相加得到总收益并计算每月收益率。

初步检验：偏度模型对保守、稳健和激进的基础模型夏普比提升52.42%、41.15%、24.62%

偏度模型与基础模型的资产配置结果对比如下：

改进后的偏度模型相较于基础模型而言收益率有较大幅度的提升，波动率略微有所上升，最终使得夏普比率得到提高。偏度模型对保守型、稳健型和激进型的基础模型夏普比率提升分别为0.1483、0.1427、0.1055，提升百分比为52.42%、41.15%、24.62%。

下面给出了部分偏度模型与基础模型的净值图对比和权重分布。

更换资产与时间窗口的有效性检验：偏度模型整体性优于基础模型

偏度模型对于标普500、欧洲斯托克50指数和上证综指构成的股指组合的夏普比率上有较大提升，我们接下来研究这一提升在其他资产或在不同时间窗口期是否仍然有效。

偏度模型配置不同的股票组合大多都能提升夏普比率

考虑到底层资产变化时，模型提升性和提升程度都有可能发生变化，我们使用下面的资产池对底层资产进行更换，观察偏度模型相对于基础模型的表现情况。

我们从上述6个资产中任取3个资产构成资产组合，分别使用基础模型和偏度模型进行资产配置，最终结果如下：

更换底层资产后，在上述共20个资产组合中，偏度模型在其中15个组合中表现更好。可以认为偏度模型相较于基础模型而言，在大多数资产池中会有提升表现，而对于少部分含有特定资产对的资产池表现欠佳。从下图可以较为直观的看出偏度模型在不同资产组上的提升性能。

同样，对于保守型和激进型的基础模型，偏度模型的提升情况如下：

加入商品资产后的偏度模型同样可以稳定提升组合夏普

接下来将商品指数（CRB商品现货指数）加入资产池中。考虑到商品指数的部分属性与股指差异较大，我们首先使用标普500、上证综指、CRB商品现货指数调整参数（仍然使用λ_1=λ_2=1的基础模型）。

此时与纯股指的资产配置不同，模型在 λ_3较大时才会出现夏普比率的提升，因此我们将偏度模型在λ_3=5，6，7，8，9时的平均提升作为衡量标准。

同样我们对资产池中的五只股指任意取两只与商品指数构成新的资产组合（使用“商”表示商品指数），最终用基础模型和偏度模型得到的结果如下：

最后我们使用CRB的五只商品指数中任选三只作为底层资产来验证模型的有效性，这五只指数分别是CRB食品现货指数、CRB食物油现货指数、CRB金属现货指数、CRB工业现货指数、CRB纺织现货指数，从1997年12月到2019年12月的月度数据，滚动时长仍为12个月（这里做出调整是由于商品指数跟股指本身的差异导致原先使用24个月来计算效果不佳），结果如下：

可以看到对于大部分商品指数构成的资产组合，偏度模型的提升效果仍非常显著。此外，在之前的优化过程中，我们使用了前24个月的历史数据来计算预期收益率和方差，这一数值发生变化最终结果也会有所影响，下图是以标普500、欧洲斯托克50和上证综指为资产池，使用稳健型模型得到的随滚动月份变化的夏普率提升情况。可以发现变动滚动时长后提升性仍然较为显著。

需要注意的是，我们尝试在底层资产中加入债券指数，由于债券的夏普比通常远大于股指和商品指数，此时大部分权重集中在债券指数上，因此偏度模型对此的提升效果有限。我们认为该模型更适用于在以股指和商品指数为代表的风险资产之间进行权重分配。

偏度模型在大多时间里优于基础模型

除了底层资产的变动外，不同时期可能模型的提升情况也会发生变化，我们仍然使用标普500、欧洲斯托克50和上证综指作为底层资产，按照24个月为一个阶段滚动向后计算不同模型下的夏普比率，结果如下：

在2000年12月到2019年12月共计228个月的统计区间中，有152个月偏度模型得到的夏普比率要高于基础模型，提升概率为66.38%，平均提升夏普比率为36.89%。因此我们认为偏度模型对资产配置的提升是系统性的，在大多数资产和时间窗口期内都是适用的。

增加最小化峰度目标可降低组合极端风险概率，但一般市场提升不明显

偏度峰度模型：在马科维茨模型基础上同时加入偏度和峰度优化的影响，优化过程为

下表为基础模型上加入偏度λ_1、λ_2、λ_3都取1，不加峰度（λ_4=0）与加入峰度（峰度参数λ_4取1，2，3，4，5）的模型结果展示：

考虑在三个均值方差基础模型上加入偏度，由于前文已测试过模型对λ_1、λ_2、λ_3参数不敏感，因此分别取合理区间的首尾的1，5进行测试，特别地，再测试λ_3=0的情况，取0即代表不加入偏度仅测试峰度的影响；峰度的参数λ_4取值0，1，2，3，4，5进行广泛测试，比较同时加入偏度和峰度的模型与仅加入偏度的模型夏普比率的表现。此时加入峰度后夏普比率全部下降。

该表中λ_4取0时且不为0时表示仅加入偏度，λ_4为1～5时表示同时加入偏度和峰度时峰度参数λ_4为1，2，3，4，5的指标的均值。从下面的图中可以直观看到夏普比率随λ_4的变化：

加入峰度后大多数模型资产组合的年化收益率降低，年化波动率增大，Calmar比率降低，夏普比率降低，其中仅有最后一组的对比加入峰度后夏普比率有略微提升。

多数参数组合中加入峰度优化目标后夏普比率降低，这可能是由于相同均值与标准差下，峰度越小极端值数量越少，分布越平缓，具有较平坦的峰度以及更短更细的尾部，形成厚峰细尾分布（下图红色区域），反之则是尖峰厚尾（下图蓝色区域）。目标函数中加入最小化峰度这一目标后分布趋向于厚峰细尾分布，该分布的右侧尾部区域面积比尖峰厚尾分布小，意味着投资回报得到极大值的概率减少，冒风险得到的平均收益比尖峰分布的少，即投资回报与多冒风险的比率降低，夏普比率降低。

一般来说，投资者通常会厌恶尖峰的投资组合，因此本报告以厚峰为优化目标。但尾部风险具有双向性，厚峰只是更稳健的投资选择，因为熊市时厚峰分部的尾部更细，表示遭遇极端亏损的概率减小，但当牛市时则意味着投资获得极端高收益的概率也减小，也就是峰度在刻画收益分布时，会涵盖左右两端的极端情况，因此在多项式目标优化方法中加入最小化峰度这一目标未必能在不同的市场环境中均获得更有效的配置方案。

全文总结

本篇报告首先介绍了资产配置中经典的马科维茨模型，马科维茨模型固定资产组合的收益率，通过资产组合方差最小化的方式构建了有效前沿。投资者根据自己的偏好来选择有效前沿上的资产组合进行投资，为了直观地描述投资者如何在有效前沿上进行资产组合的选择，我们引入了无差异曲线的概念，曲线上的每一个点（投资组合）给投资者带来的效用是相同的，这条曲线就是无差异曲线。随着资产波动增加，风险厌恶的投资者往往需要更高的预期收益来补偿风险增加带来的效用减少，这就使得风险厌恶投资者的无差异曲线的形状是向下凸的。

在使用马科维茨模型进行资产配置时我们发现，这一过程基于一些严格的假设，例如投资者在进行投资选择时，资产收益率的分布由预期收益率及其方差确定，即资产收益率服从正态分布等。为了克服马科维茨模型在收益率分布上的假设不合理问题，我们尝试引入收益三阶和四阶中心矩来更加精准地刻画收益分布，并基于此进行模型优化。

我们使用多项式目标优化在原始模型中加入三阶矩偏度和四阶矩峰度，通过更改参数来改变各阶矩在效用中的占比权重。我们按照对均值和方差的权重分配设定了三个基础模型（保守型：均值和方差在效用函数中的占比为1：5；稳健型：均值和方差在效用函数中的占比为1：1；激进型：均值和方差在效用函数中的占比为5：1），使用基础模型和加入偏度之后的偏度模型对标普500、欧洲斯托克50和上证综指进行资产配置测试，在保守型、稳健型、激进型模型上得到的夏普比率提升分别为52.42%，41.15%，24.62%。这一提升在这一提升在更换股票和商品等底层资产，以及在不同的时间段内测试都依然有效，因此，我们认为偏度的加入可以提升模型的配置表现。而在偏度模型的基础上再加入峰度后的模型提升并不明显，这可能是峰度所刻画的尾部风险会体现在收益分布上的左右两端所导致。

附录

不含无风险资产组合有效前沿的双曲线解析式推导

含无风险资产组合有效前沿的推导

马科维茨模型的等价效用函数推导

风险提示

马科维茨模型和改进后的模型都是基于历史经验的总结，如果市场规律改变，存在失效的可能性；报告中的各类指数只是作为常见指数，并不能完全代表A 股或全球市场，请投资者谨慎、理性地看待。

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【华泰金工林晓明团队】周期双底存不确定性宜防守待趋势——短周期底部拐头机会渐增，待趋势明朗把握或更大20191022

【华泰金工林晓明团队】二十年一轮回的黄金投资大周期——黄金的三周期定价逻辑与组合配置、投资机会分析20190826

【华泰金工林晓明团队】如何有效判断真正的周期拐点？——定量测度实际周期长度提升市场拐点判准概率

【华泰金工林晓明团队】基钦周期的长度会缩短吗？——20190506

【华泰金工林晓明团队】二十载昔日重现，三四年周期轮回——2019年中国与全球市场量化资产配置年度观点（下）

【华泰金工林晓明团队】二十载昔日重现，三四年周期轮回——2019年中国与全球市场量化资产配置年度观点（上）

【华泰金工林晓明团队】周期轮动下的BL资产配置策略

【华泰金工林晓明团队】周期理论与机器学习资产收益预测——华泰金工市场周期与资产配置研究

【华泰金工林晓明团队】市场拐点的判断方法

【华泰金工林晓明团队】2018中国与全球市场的机会、风险 · 年度策略报告（上）

【华泰金工林晓明团队】基钦周期的量化测度与历史规律 · 华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】周期三因子定价与资产配置模型（四）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】周期三因子定价与资产配置模型（三）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】周期三因子定价与资产配置模型（二）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】周期三因子定价与资产配置模型（一）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】华泰金工周期研究系列 · 基于DDM模型的板块轮动探索

【华泰金工林晓明团队】市场周期的量化分解

【华泰金工林晓明团队】周期研究对大类资产的预测观点

【华泰金工林晓明团队】金融经济系统周期的确定（下）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】金融经济系统周期的确定（上）——华泰金工周期系列研究

【华泰金工林晓明团队】全球多市场择时配置初探——华泰周期择时研究系列

行业指数频谱分析及配置模型：市场的周期分析系列之三

【华泰金工林晓明团队】市场的频率——市场轮回，周期重生

【华泰金工林晓明团队】市场的轮回——金融市场周期与经济周期关系初探

周期起源

【华泰金工林晓明团队】周期在供应链管理模型的实证——华泰周期起源系列研究之六

【华泰金工林晓明团队】不确定性与缓冲机制——华泰周期起源系列研究报告之五

【华泰金工林晓明团队】周期是矛盾双方稳定共存的结果——华泰周期起源系列研究之四

【华泰金工林晓明团队】周期是不确定性条件下的稳态——华泰周期起源系列研究之三

【华泰金工林晓明团队】周期趋同现象的动力学系统模型——华泰周期起源系列研究之二

【华泰金工林晓明团队】从微观同步到宏观周期——华泰周期起源系列研究报告之一

FOF与金融创新产品

【华泰金工林晓明团队】养老目标基金的中国市场开发流程--目标日期基金与目标风险基金产品设计研究

【华泰金工】生命周期基金Glide Path开发实例——华泰FOF与金融创新产品系列研究报告之一

因子周期（因子择时）

【华泰金工林晓明团队】市值因子收益与经济结构的关系——华泰因子周期研究系列之三

【华泰金工林晓明团队】周期视角下的因子投资时钟--华泰因子周期研究系列之二

【华泰金工林晓明团队】因子收益率的周期性研究初探

择时

【华泰金工林晓明团队】波动率与换手率构造牛熊指标——华泰金工量化择时系列

【华泰金工林晓明团队】A股市场低开现象研究

【华泰金工林晓明团队】华泰风险收益一致性择时模型

【华泰金工林晓明团队】技术指标与周期量价择时模型的结合

【华泰金工林晓明团队】华泰价量择时模型——市场周期在择时领域的应用

行业轮动

【华泰金工林晓明团队】拥挤度指标在行业配置中的应用——华泰行业轮动系列报告之十二

【华泰金工林晓明团队】基于投入产出表的产业链分析 ——华泰行业轮动系列报告之十一

【华泰金工林晓明团队】不同协方差估计方法对比分析——华泰行业轮动系列报告之十

【华泰金工林晓明团队】景气度指标在行业配置中的应用——华泰行业轮动系列报告之九

【华泰金工林晓明团队】再探周期视角下的资产轮动——华泰行业轮动系列报告之八

【华泰金工林晓明团队】“华泰周期轮动”基金组合改进版——华泰行业轮动系列报告之七

【华泰金工林晓明团队】“华泰周期轮动”基金组合构建——华泰行业轮动系列之六

【华泰金工林晓明团队】估值因子在行业配置中的应用——华泰行业轮动系列报告之五

【华泰金工林晓明团队】动量增强因子在行业配置中的应用——华泰行业轮动系列报告之四

【华泰金工林晓明团队】财务质量因子在行业配置中的应用——华泰行业轮动系列报告之三

【华泰金工林晓明团队】周期视角下的行业轮动实证分析——华泰行业轮动系列之二

【华泰金工林晓明团队】基于通用回归模型的行业轮动策略——华泰行业轮动系列之一

Smartbeta

【华泰金工林晓明团队】重剑无锋：低波动 Smart Beta——华泰 Smart Beta 系列之四

【华泰金工林晓明团队】投资优质股票：红利类Smart Beta——华泰Smart Beta系列之三

【华泰金工林晓明团队】博观约取：价值和成长Smart Beta——华泰Smart Beta系列之二

【华泰金工林晓明团队】Smart Beta：乘风破浪趁此时——华泰Smart Beta系列之一

【华泰金工林晓明团队】Smartbeta在资产配置中的优势——华泰金工Smartbeta专题研究之一

多因子选股

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之历史分位数因子——华泰多因子系列之十三

【华泰金工林晓明团队】桑土之防：结构化多因子风险模型——华泰多因子系列之十二

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之海量技术因子——华泰多因子系列之十一

【华泰金工林晓明团队】因子合成方法实证分析 ——华泰多因子系列之十

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之一致预期因子 ——华泰多因子系列之九

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之财务质量因子——华泰多因子系列之八

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之资金流向因子——华泰多因子系列之七

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之波动率类因子——华泰多因子系列之六

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之换手率类因子——华泰多因子系列之五

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之动量类因子——华泰多因子系列之四

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之成长类因子——华泰多因子系列之三

【华泰金工林晓明团队】华泰单因子测试之估值类因子——华泰多因子系列之二

【华泰金工林晓明团队】华泰多因子模型体系初探——华泰多因子系列之一

【华泰金工林晓明团队】五因子模型A股实证研究

【华泰金工林晓明团队】红利因子的有效性研究——华泰红利指数与红利因子系列研究报告之二

人工智能

【华泰金工林晓明团队】揭开机器学习模型的“黑箱” ——华泰人工智能系列之二十七

【华泰金工林晓明团队】遗传规划在CTA信号挖掘中的应用——华泰人工智能系列之二十六

【华泰金工林晓明团队】市场弱有效性检验与择时战场选择——华泰人工智能系列之二十五

【华泰金工林晓明团队】投石问路：技术分析可靠否？——华泰人工智能系列之二十四

【华泰金工林晓明团队】再探基于遗传规划的选股因子挖掘——华泰人工智能系列之二十三

【华泰金工林晓明团队】基于CSCV框架的回测过拟合概率——华泰人工智能系列之二十二

【华泰金工林晓明团队】基于遗传规划的选股因子挖掘——华泰人工智能系列之二十一

【华泰金工林晓明团队】必然中的偶然：机器学习中的随机数——华泰人工智能系列之二十

【华泰金工林晓明团队】偶然中的必然：重采样技术检验过拟合——华泰人工智能系列之十九

【华泰金工林晓明团队】机器学习选股模型的调仓频率实证——华泰人工智能系列之十八

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之数据标注方法实证——华泰人工智能系列之十七

【华泰金工林晓明团队】再论时序交叉验证对抗过拟合——华泰人工智能系列之十六

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之卷积神经网络——华泰人工智能系列之十五

【华泰金工林晓明团队】对抗过拟合：从时序交叉验证谈起

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之损失函数的改进——华泰人工智能系列之十三

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之特征选择——华泰人工智能系列之十二

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之Stacking集成学习——华泰人工智能系列之十一

【华泰金工林晓明团队】宏观周期指标应用于随机森林选股——华泰人工智能系列之十

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之循环神经网络——华泰人工智能系列之九

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之全连接神经网络——华泰人工智能系列之八

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之Python实战——华泰人工智能系列之七

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之Boosting模型——华泰人工智能系列之六

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之随机森林模型——华泰人工智能系列之五

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之朴素贝叶斯模型——华泰人工智能系列之四

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之支持向量机模型— —华泰人工智能系列之三

【华泰金工林晓明团队】人工智能选股之广义线性模型——华泰人工智能系列之二

指数增强基金分析

【华泰金工林晓明团队】再探回归法测算基金持股仓位——华泰基金仓位分析专题报告

【华泰金工林晓明团队】酌古御今：指数增强基金收益分析

【华泰金工林晓明团队】基于回归法的基金持股仓位测算

【华泰金工林晓明团队】指数增强方法汇总及实例——量化多因子指数增强策略实证

基本面选股

【华泰金工林晓明团队】华泰价值选股之相对市盈率港股模型——相对市盈率港股通模型实证研究

【华泰金工林晓明团队】华泰价值选股之FFScore模型

【华泰金工林晓明团队】相对市盈率选股模型A股市场实证研究

【华泰金工林晓明团队】华泰价值选股之现金流因子研究——现金流因子选股策略实证研究

【华泰金工林晓明团队】华泰基本面选股之低市收率模型——小费雪选股法 A 股实证研究

【华泰金工林晓明团队】华泰基本面选股之高股息率模型之奥轩尼斯选股法A股实证研究

基金定投

【华泰金工林晓明团队】大成旗下基金2018定投策略研究

【华泰金工林晓明团队】布林带与股息率择时定投模型——基金定投系列专题研究报告之四

【华泰金工林晓明团队】基金定投3—马科维茨有效性检验

【华泰金工林晓明团队】基金定投2—投资标的与时机的选择方法

【华泰金工林晓明团队】基金定投1—分析方法与理论基础

其它

【华泰金工林晓明团队】A股市场及行业的农历月份效应——月份效应之二

A股市场及行业的月份效应——详解历史数据中的隐藏法则