在信号分析中，傅里叶变换可称得上是神器。但在实际应用中，人们发现它还是存在一些不可忽视的缺陷。

为了便于叙述考察以下两种情形：

考察这样一个函数：

绘制这个函数的时域图像和经过傅立叶变换后的频谱图像，长这个样子：

现在把信号反转过来：

再次绘制时域和频域的图像，它长这样：

不难发现，尽管这两个信号的时域分布完全相反，但是它们的频谱图是完全一致的。显然，FFT无法捕捉到信号在时域分布上的不同。

考察一个普普通通的信号:

同样绘制它的时域以及频域图像：

现在给信号加入一个高频突变：

然后绘图： 对比两个信号的时域图，我们能很明显发现在第二个信号中央的部分出现了一个突变扰动。然而在频域图中，这样的变化并没有很好的被捕捉到。注意到红框中部分，显然傅里叶变换把突变解释为了一系列低成分的高频信号的叠加，并没有很好的反应突变扰动给信号带来的变化。

通过以上的两个例子，我们不难发现傅立叶变换的缺陷。

第一个例子告诉我们，傅里叶变换只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

第二个例子告诉我们，对于信号中的突变，傅里叶变换很难及时捕捉。而在有些场合，这样的突变往往是十分重要的。

当然如果非要硬杠，也不是完全没办法——这就需要需分析相位谱了，但在实际应用中，有谁会不嫌麻烦地去看相位谱呢？

总而言之，傅里叶变换非常擅长分析那些频率特征均一稳定的平稳信号。但是对于非平稳信号，傅立叶变换只能告诉我们信号当中有哪些频率成分——而这对我们来讲显然是不够的。我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析（引用自知乎）。

所谓时频分析，就是既要考虑到频率特征，又要考虑到时间序列变化。常用的有两种方法：短时傅里叶变化，以及小波变换。本文我们只介绍短时傅里叶变换

短时傅里叶变换的思路非常直观：既然对整个序列做FFT会丢失时间信息，那我一段一段地做FFT不就行了嘛！这也正是短时傅里叶变换名称的来源，Short Time Fourier Transorm，这里的 Short Time 就是指对一小段序列做 FFT。

那么怎么一段一段处理呢？直接截取信号的一段来做 FFT 吗？一般我们通过加窗的方法来截取信号的片段。定义一个窗函数 w ( t ) \textrm{w}(t) w(t)，比如这样。

将窗函数位移到某一中心点 τ \tau τ，再将窗函数和原始信号相乘就可以得到截取后的信号 y(t)。

y ( t ) = x ( t ) ⋅ w ( t − τ ) y(t) = x(t) \cdot \textrm{w}(t - \tau) y(t)=x(t)⋅w(t−τ)

前面提到的直接截取的方法其实就是对信号加一个矩形窗，不过一般我们很少选用矩形窗，因为矩形窗简单粗暴的截断方法会产生的频谱泄露以及吉布斯现象，不利于频谱分析。更多关于窗函数的内容，可以看这里：加窗法。

对原始信号 x ( t ) x(t) x(t) 做 STFT 的步骤如下。

首先将将窗口移动到信号的开端位置，此时窗函数的中心位置在 t = τ 0 t = \tau_0 t=τ0​处，对信号加窗处理

y ( t ) = x ( t ) ⋅ w ( t − τ 0 ) y(t) = x(t) \cdot \textrm{w}(t - \tau_0) y(t)=x(t)⋅w(t−τ0​)

然后进行傅里叶变换

X ( ω ) = F ( y ( t ) ) = ∫ ∞ + ∞ x ( t ) ⋅ w ( t − τ 0 ) e − j ω t d t X(\omega) = \mathcal{F}(y(t)) = \int_{\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau_0) e^{-j\omega t}dt X(ω)=F(y(t))=∫∞+∞​x(t)⋅w(t−τ0​)e−jωtdt

由此得到第一个分段序列的频谱分布 X ( ω ) X(\omega) X(ω)。在现实应用中，由于信号是离散的点序列，所以我们得到的是频谱序列 X [ N ] X[N] X[N]。

为了便于表示，我们在这里定义函数 S ( ω , τ ) S(\omega, \tau) S(ω,τ)，它表示，在窗函数中心为 τ \tau τ 时，对原函数进行变换后的频谱结果 X ( ω ) X(\omega) X(ω)，即：

S ( ω , τ ) = F ( x ( t ) ⋅ w ( t − τ ) ) = ∫ ∞ + ∞ x ( t ) ⋅ w ( t − τ ) e − j ω t d t S(\omega, \tau) = \mathcal{F}(x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau)) = \int_{\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau) e^{-j\omega t}dt S(ω,τ)=F(x(t)⋅w(t−τ))=∫∞+∞​x(t)⋅w(t−τ)e−jωtdt

对应到离散场景中， S [ ω , τ ] S[\omega, \tau] S[ω,τ] 就是一个二维矩阵，每一列代表了在不同位置对信号加窗，对得到的分段进行傅里叶变换后的结果序列。

完成了对第一个分段的FFT操作后，移动窗函数到 τ 1 \tau_1 τ1​。把窗体移动的距离称为 Hop Size。移动距离一般小于窗口的宽度，从而保证前后两个窗口之间存在一定重叠部分，我们管这个重叠叫 Overlap。

重复以上操作，不断滑动窗口、FFT，最终得到从 τ 0 ∼ τ N \tau_0 \sim \tau_N τ0​∼τN​ 上所有分段的频谱结果：

最终我们得到的 S S S，就是 STFT 变换后的结果。

以下代码基于 Matlab 2019b。

STFT 的实现如下，算法返回的三个参数：

我们这里使用 Case 1 的范例来看看 STFT 效果如何。

为了方便可视化，这里给出了对 STFT 变换后的可视化函数。

注意上面这个函数依赖于 signalwavelet 包，如果没有这个依赖的话，我还提供了一个粗糙版的绘图函数，用法基本类似，不过最后一个参数需要把从窗函数对象传进去：

对 Case 1 中的两种情况进行分析，代码如下

可以看到，在 FFT 中无法区分的频谱图像在 STFT 中区分就非常明显，可以看出按照不同的时间分段，频谱分布的变化。

为了更好地理解，将右上角的图做一次三维旋转：

可以非常清晰地看出频率分布随时间的变换。注意到分界线处存在异常的高频成分（就是 STFT 图像中那三条竖线），这是因为时域信号突变导致的高频成分。

在老的版本中，Matlab 中 STFT 的函数名为 spectrogram，而在 2019 版本中，引入了新的函数 stft，用法和我上面的实现的程序基本一致。

需要注意的是，我实现的时候用的参数是 hop size，而matlab提供的函数需要的参数是 overlap 这个别搞混了。结果如下。 要注意的是，spectrogram 输出的是单边谱，而 stft 输出的是双边谱，其他区别倒不大。但是 spectrogram 还可以输出功率谱，而 stft 就不行了。

如果你仔细分析上面的内容，你会发现短时傅立叶变换也有不容忽视的缺陷。

最明显的一个问题：窗口的宽度该设多少为好呢？为了阐明这个问题的影响，我们做这么一个实验：调整不同 wlen 的值，来看看影响。

结果如下：

注意 S 的尺寸随 wlen 的变换，不难发现一个事实：

从定量的角度来看，STFT的时间分辨率取决于滑移宽度 H H H，而频率分辨率则取决于 F s H \frac{F_s}{H} HFs​​。显然，一方的增加必然意味着另一方的减小。这就是所谓的时频测不准原理（跟海森堡测不准是一个性质），具体关系为：

Δ t ⋅ Δ f ⩾ 1 4 π \Delta t \cdot \Delta f \geqslant \frac{1}{4\pi} Δt⋅Δf⩾4π1​

另外，固定的窗口大小过于死板。对低频信号而言，有可能连一个周期都不能覆盖；对高频信号而言，可能覆盖过多周期，不能反映信号变化。

也就是说，这又是一个 Trade-Off 问题，而一个问题一旦进入 Trade-Off 模式，就开始变得玄学起来了。

为了打破这种玄学困境，就需要一个更加强大的武器——小波变换。

至于小波变换，那就是另一个故事了。