我们在信号与系统和通信原理中学到的傅里叶变化大多是 F ( ω ) F(\omega) F(ω)这种形式的：

但有时在看资料的时候，发现有人会用 F ( f ) F(f) F(f)这种表达，在画频域图的时候也有 ω \omega ω和 f f f两种横坐标，幅值也会有相应的变化。

下面以余弦函数 f ( t ) = A c o s ω 0 t f(t)=Acos\omega_{0}t f(t)=Acosω0​t为例，推导 F ( w ) F(w) F(w)与 F ( f ) F(f) F(f)之间的关系。

首先，在推导 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变化 F ( ω ) F(\omega) F(ω)的时候，由于 f ( t ) = A c o s ω 0 t = A 2 ( e j ω 0 t + e − j ω 0 t ) f(t)=Acos\omega_{0}t=\frac{A}{2}({e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}) f(t)=Acosω0​t=2A​(ejω0​t+e−jω0​t) 因此可以将求解余弦函数傅里叶变换的问题转换为求解指数函数 g ( t ) = e j ω 0 t g(t)=e^{j\omega_{0}t} g(t)=ejω0​t的问题。 那么： G ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ g ( t ) e − j ω t   d t = ∫ − ∞ + ∞ e j ω 0 t e − j ω t   d t = ∫ − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) t   d t G(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-j\omega t}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega_{0}t}e^{-j\omega t}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,dt G(ω)=∫−∞+∞​g(t)e−jωtdt=∫−∞+∞​ejω0​te−jωtdt=∫−∞+∞​e−j(ω−ω0​)tdt 但是上式我们暂时无法求出来。 于是 D i r a c D e l t a f u n c t i o n   δ ( t ) Dirac Delta function \ \delta(t) DiracDeltafunction δ(t)登场~ 由于： 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ 2 π δ ( ω − ω 0 ) e j ω t   d ω = e j ω 0 t = g ( t ) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta (\omega-\omega_{0})e^{j\omega t}\,d\omega=e^{j\omega_{0}t}=g(t) 2π1​∫−∞+∞​2πδ(ω−ω0​)ejωtdω=ejω0​t=g(t) 正好说明了 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2\pi\delta (\omega-\omega_{0}) 2πδ(ω−ω0​)的傅里叶逆变换是 g ( t ) g(t) g(t)，因此 F o u r i e r { g ( t ) } = G ( ω ) = 2 π δ ( ω − ω 0 ) Fourier\{g(t)\}=G(\omega)=2\pi\delta (\omega-\omega_{0}) Fourier{g(t)}=G(ω)=2πδ(ω−ω0​) 得到余弦函数 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变化为： F ( ω ) = A 2 ∫ − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) t + e − j ( ω + ω 0 ) t   d t = π A   [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 ) ] F(\omega)=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j(\omega-\omega_{0})t}+e^{-j(\omega+\omega_{0})t}\,dt=\pi A\ [\delta({\omega-\omega_{0}})+\delta({\omega+\omega_{0}})] F(ω)=2A​∫−∞+∞​e−j(ω−ω0​)t+e−j(ω+ω0​)tdt=πA [δ(ω−ω0​)+δ(ω+ω0​)] 那么如果用 f f f代替 ω \omega ω会出现什么情况呢？ 首先回到求解 g ( t ) = e j ω 0 t = e j 2 π t g(t)=e^{j\omega_{0}t}=e^{j2\pi t} g(t)=ejω0​t=ej2πt的 f f f傅里叶变换 G ( f ) G(f) G(f)的问题： G ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ g ( t ) e − j 2 π f t   d t = ∫ − ∞ + ∞ e j 2 π f 0 t e − j 2 π f t   d t = ∫ − ∞ + ∞ e − j 2 π ( f − f 0 ) t   d t G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j2\pi f_{0}t}e^{-j2\pi f t}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j2\pi(f-f_{0})t}\,dt G(f)=∫−∞+∞​g(t)e−j2πftdt=∫−∞+∞​ej2πf0​te−j2πftdt=∫−∞+∞​e−j2π(f−f0​)tdt 由 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ 2 π δ ( 2 π f − 2 π f 0 ) e j 2 π f t   d 2 π f = e j 2 π f 0 t = g ( t ) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta (2\pi f -2\pi f _{0})e^{j2\pi ft}\,d2\pi f =e^{j2\pi f _{0}t}=g(t) 2π1​∫−∞+∞​2πδ(2πf−2πf0​)ej2πftd2πf=ej2πf0​t=g(t) 因此， G ( f ) = 2 π δ ( 2 π f − 2 π f 0 ) = δ ( f − f 0 ) G(f)=2\pi\delta (2\pi f -2\pi f _{0})=\delta (f-f_{0}) G(f)=2πδ(2πf−2πf0​)=δ(f−f0​) F ( f ) = A 2 ∫ − ∞ + ∞ e − j 2 π ( f − f 0 ) t + e − j 2 π ( f + f 0 ) t   d t = A 2 [ δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ] F(f)=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j2\pi (f-f_{0})t}+e^{-j2\pi (f+f_{0})t}\,dt=\frac{A}{2}[\delta({f-f_{0}})+\delta({f+f_{0}})] F(f)=2A​∫−∞+∞​e−j2π(f−f0​)t+e−j2π(f+f0​)tdt=2A​[δ(f−f0​)+δ(f+f0​)] 由此可以看出，余弦函数的 F ( f ) F(f) F(f)幅值比 F ( ω ) F(\omega) F(ω)幅值低 2 π 2\pi 2π倍，并不是我们想当然的将自变量从 ω \omega ω改为 f f f就好了，除此之外，幅值还要发生改变。 其他函数的傅里叶变换也可以通过这种方式推导。