浅谈导数在实际生活中的应用 |
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黄绍东 (河南工业和信息化职业学院,河南 焦作 454000) 导数知识是学习高等数学的基础,它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用。导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的,同时,又促进了生产技术和自然科学的发展,它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用,而且在工农业生产及日常生活中也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“利润最大”“效率最高”等优化问题.这类问题在数学上就是最大值,最小值问题,一般都可以应用导数知识得到解决.今天我们就导数在实际生活中的应用简单探讨如下。 1.导数与函数的极值,最值1.1 函数的极值是在局部范围内讨论的问题,是一个局部概念,函数的极值可能不止一个,也可能不存在。 1.2 函数y=f(x)在x0点处可导,则f'(x0)=0是x0是极值点的必要不充分条件,但导数不存在的点也可能是极值点。 1.3 最大值,最小值是函数对整个定义域而言的,是在整体范围内讨论的问题,是一个整体性的概念。函数的最大值,最小值最多各有一个,函数的最值在极值点或者区间端点处取得。 2利用导数解决实际问题的方法与步骤2.1 首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质。其次,建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再求解。这里涉及到建立目标函数,一定要注意确定函数的定义域,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x0)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值,这里所说的也适用于开区间或无穷区间。 2.2 求最大(小)值应用题的一般方法 首先,分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式,这是关键一步。其次,确定函数的定义域,并求出极值点。最后,比较各极值与定义域端点函数的大小,结合实际,确定最值或最值点。 3导数在实际生活中的应用根据实际意义建立好目标函数,体会导数在实际问题中的应用。 3.1 导数在生产利润问题中的应用 例1现要生产某种洗衣机,若已知该洗衣机的售价为ρ元,年需求量为q台则其成本函数为c(q)=3.9×103q+7×106,经过市场研究发现,这种洗衣机年需求量q=3.2×105-40ρ,那么销售量及售价为多少时利润最大。 解:由题意知q=3.2×105-40ρ,则ρ=8×103-0.025q 设总的利润函数为L,总的收入函数为R 所以若销售量为q,则销售函数为 对(1)式求导 L'(q)=4.1×103-0.05q 令L'(q)=0求得q=8.2×104是函数的唯一驻点,所以q=8.2×104是利润函数L(q)的极大值点,也是最大值点,当q=8.2×104时,最大利润为 L(q)=4.1×103×8.2×104-0.025×(8.2×104)2-7×106=2.201×108 售价为ρ=8×103-0.025×8.2×104=5950 则销售量为8.2×104,售价为5950时利润最大。 3.2 导数在资源的合理利用中的应用 例2某宾馆有60间客房,已知每间客房每天100元将全部租出,所租房间店主每天支付10元水电费,若每间房每天多收10元,则有一间房间不能租出,试求每天租金定位多少,才能使店主所获利润最大? 解 设每间房每天租金为x元,则成本函数为 令L'(x)=0解得x=355所以x=355是函数的驻点,也是函数的最大值点,当时,最大利润为 所以当租金为355元时所获利润最大。 3.3 导数在器具制造中的应用 例3在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形,然后把他的四边翻转90°角,焊接成一个无盖的方底箱子,问箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少? 分析 可设箱底边长为xcm,然后将容积表示成关于x的函数,再用导数求最值。 解得x=40(x=0舍去) 当时x∈(0,40)时,V'(x)>0; 当时x∈(40,60)时,V'(x)<0。 因此,x=40是函数V(x)的极大值点,也是最大值点。而V(40)=16000cm3,所以当箱底的边长是40cm时箱子的容积最大,最大容积是16000cm3。 点评 在求面积、容积最大问题时,要充分利用几何图形,建立数学模型,列出函数关系式,再利用导数计算,计算时一定要注意自变量的取值范围。 3.4 导数在变路移址中的应用 例4 河宽akm,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是bkm,今需在A与B之间铺设一条电缆,已知地下电缆的修建费是c万元/km,水下电缆的修建的费用是地下的电缆的修建费的n(n>1)倍,假设河两岸呈平行直线状,那么应如何铺设电缆方使费用达到最省。 解 设按ADB的路线铺设电缆,依题意,点D在BC段,设CD=xkm,总的施工费用为y万元,依题意 总之,导数作为一种工具,在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便,尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题,这些问题转化为求函数的最值问题,运用导数求解,很大程度上简化了我们的过程,缩短了步骤,起着非常重要的作用。因此,在实际生活中有非常重要的应用。 [1]五年制高等职业教育文化基础课教学用书:数学.苏州大学出版社 [2]周国球.运用导数解题应注意几个方面.中学数学教学,2006(1) [3]徐妮.中学微积分的教与学研究.湖南师范大学,2008 [4]李秋凤.导数在函数问题中的应用.中国科技信息,2006(3)133-155 [5]华东师范大学数学系.数学分析(上册).第三版.北京:高等教育出版社,2001.91 猜你喜欢 定义域极值最值 单调任意恒成立,论参离参定最值中学生数理化(高中版.高二数学)(2022年3期)2022-04-26如何求抽象函数的定义域语数外学习·高中版上旬(2022年2期)2022-04-09极值点带你去“漂移”新世纪智能(数学备考)(2021年10期)2021-12-21聚焦圆锥曲线中的最值问题中学生数理化(高中版.高考数学)(2021年12期)2021-03-08极值点偏移拦路,三法可取河北理科教学研究(2020年3期)2021-01-04巧用不等式求最值河北理科教学研究(2020年3期)2021-01-04数列中的最值题型例讲中学生数理化(高中版.高二数学)(2020年11期)2020-12-15永远的定义域数理化解题研究(2020年19期)2020-07-22抽象函数定义域的四种类型读写算(2019年5期)2019-09-01一类“极值点偏移”问题的解法与反思中学数学杂志(2019年1期)2019-04-03
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