换硬币（Coin Change）问题是一道经典的动态规划入门题，但是你可能不太知道，LeetCode 上的换硬币问题其实是一个系列，共三道题目：

LeetCode 322. Coin Change（Medium）

LeetCode 377. Combination Sum IV（Medium）

LeetCode 518. Coin Change 2（Medium）

其中，377 题虽然不叫 Coin Change，但是本质上和换硬币问题是一样的。

这一系列是比较考验技巧的三道题目，难度层层递进。第一道题是大家都熟悉的动态规划入门题；第二道题变为求方案数，需要我们不重复不遗漏；第三道题更有难度，需要扩充为二维动态规划，才能准确求出方案数量。

没有做过这个系列三道题的同学，不妨跟着本文看看三道题目的解法，理解其中的思路和技巧。下面我们一道一道地进行分析。

LeetCode 322. Coin Change（Medium）

给定不同面额的硬币 coins 和金额 amount，计算凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种方案能组成该金额，返回 -1。每种硬币的数量是无限的。

示例：

这第一道题目大家应该都做过，网上的各种解析也很泛滥。这里我们还是套用动态规划的解题四步骤来求解。

第一步，定义子问题。

我们设硬币面值的集合为 。子问题 可以定义为：「凑出金额 的最小硬币数」。那么原问题就是求 。

第二步，写出子问题的递推关系。

求「凑出金额 的最小硬币数」，我们可以尝试不同的硬币。如果使用了金额为 的硬币，问题就变成了「凑出金额 的最小硬币数」。我们要从各种尝试中选择硬币数量最小的那个结果。

这样我们就可以写出子问题的递推关系：

当然，不要忘记子问题的 base case：

它的含义是，当 amount 为 0 时，不需要任何硬币就已经凑出了目标金额。

第三步，确定 DP 数组的计算顺序。

确定 DP 数组计算顺序的重点是看子问题的依赖关系。我们以 为例，即有 1 元、2 元、5 元的硬币。这样 依赖于 、、，全部在 的左边。也就是说，DP 数组中的每个元素只依赖其左边的元素。

既然 DP 数组中的依赖关系都是向右指的，那么 DP 数组的计算顺序就是从左到右。

处理 DP 数组中的无效元素。

至此，我们离写出题解代码已经很接近了，但还要处理一个编程上的细节：DP 数组中的无效元素。

可能存在一些金额是硬币凑不出来的。例如只有 2 元、5 元的硬币时，就凑不出 1 元、3 元的金额。这样 、 就是无效元素，不能参与子问题的计算。