【离散数学】最大元素、最小元素、极大元素、极小元素、上界、下界、最小上界(上确界)、最大下界(下确界) |
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设(A, ≤)是一偏序集合,B是A的子集。 最大元素、最小元素:(1)元素b∈B是B的最大元素,如果对每一元素x∈B,x≤b(2)元素b∈B是B的最小元素,如果对每一元素x∈B,b≤x即:对于每一个元素,都能满足这样的偏序关系。定理:如果B存在最大(最小)元素,那么它是唯一的。例:如果B = {2, 3},偏序关系为“整除”,因为2和3互相不能整除,那么B没有最小元素和最大元素。 极大元素、极小元素:(1)如果b∈B,且B中不存在元素x,使b≠x且b≤x,那么元素b∈B叫做B的极大元素。 (2)如果b∈B,且B中不存在元素x,使b≠x且x≤b,那么元素b∈B叫做B的极小元素。即:对于极大元素,不存在元素在它偏序关系之上。对于极小元素,不存在元素在它偏序关系之下。 注意:B的最大(小)元素和极大(小)元素都必须是子集B的元素,而B的上界(下界)和最小上界(最大下界)可以是也可以不是B的元素。在定义中并没有保证这些元素的存在。在许多情况下他们是不存在的。 上界、下界:(1)如果对每一b∈B,b≤a,那么元素a∈A叫做B的上界; (2)如果对于如果对每一b∈B,a≤b,那么元素a∈A叫做B的上界;上界、下界是A集合里的,可以存在很多个,也可以不存在 也就是说求上界的时候,对于每一个B里面的元素,都要和它上界们满足偏序关系,所以在集合B里面的不能有两个及以上,因为同时选择两个的话,就不满足B里面任何元素都要满足偏序关系了。 上确界、下确界:(1)如果a是一上界并且对每一B的上界a’有a≤a’,那么元素a∈A叫做B的最小上界,记作lub; (2)如果a是一下界并且对每一B的下界a’有a≤a’,那么元素a∈A叫做B的最大下界,记作glb最大下界和最小上界可能存在也可能不存在,如果它们存在,则是唯一的。 如果最大值/最小值/上确界/下确界存在,那么一定是唯一的 求极大值/极小值的时候,因为只要是所有元素没有不满足的就可以,所以可以选择两个以上,其中可以有不和元素连线的。。 求上界/下界,因为是和最大最小值一样是所有的必须满足条件,所以所有元素都是要求有连线的,所以不可能存在两个及以上的元素在B集合里面。。 |
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