排列组合的基本方法 |
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一、 知识要点预备:
二、 知识要点:
排列组合的基本方法——隔板法
排列组合中分配问题,是排列组合中的难点问题,其中涉及到名 额分配或相同物品的分配问题, 适宜采用隔板法, 下面我们就来一起 研究一下这种方法。
例 1 10 个优秀指标名额分配给 6 个班级,每个班至少一个, 共有多少种不同的分配方法?
解析: 本小题涉及到了名额分配的问题,宜采用隔板法。用 5 个隔板插入 10 个指标中的 9 个空隙, 即有 5 9 C 种方法。 按照第一个隔 板前的指标数为 1 班的指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标 数为 2 班的指标……依此类推,共有 5 9 126 C 种分法。
例 2 10 个优秀指标名额分配到一、二、三 3 个班,若名额数 不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?
解析: 先拿 3 个指标分配给二班一个,三班两个,然后,问题 就转化为 7 个优秀名额分配个三个班级,每班至少一个。由例 1 可 知,共有 2 6 15 C 种不同的分配方法。
例 3
研究不定方程 1 2 3 4 10 x x x x 的正整数解有多少个?
解析: 该问题可以这样处理:将方程左边的 1 2 3 4 x x x x 、 、 、 看成是 4 个班级得到的名额数, 右边的 10 看成是 10 个名额。 这样就相当于 10 个优秀名额分配到 4 个班级,每个班级至少有一个名额,共有多 少种不同的分配方法。这样,本题就转化为里例 1 的形式,所以本 题的答案即为 3 9 84 C 。
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