一、古代中国除法的演变过程

对古代的人们来讲，计算除法是一个非常难的问题。现有资料表明，古代中国采用算筹来计算除法，后来用算盘来计算，这是比较早的程序性计算除法的方法。

1.筹算除法

我国古代数学著作《孙子算经》上说：“凡除之法，与乘正异。”当时，人们用算筹和口诀来计算除法，把除法看作乘法的逆运算。基本步骤与乘法一样也是放筹与运筹。放筹时也分三层，上层放商，中间放被除数(古时称实)，下层放除数(古时称法)，除数摆在被除数够除的那一位之下，除完向右移动，比如，4391÷78，筹算过程见图1所示。这可能是除法竖式产生的雏形吧。

筹算除法同乘法运算一样也需要口诀，古时称之为“九九表”，从“九九八十一”起到二二得四”止，共三十六句。但没有“一九得九”到“一一得一”等九句，顺序也与现今流行的相反。

2.珠算除法

珠算除法有归除法和商除法两种。

归除法用珠算除法口诀进行计算，有九归口诀61句，退商口诀9句和商九口诀9句。

商除法借助乘法口诀求商。下面以242÷22=11为例，介绍商除法，具体步骤如下：①布数，定商，能够除隔位商，不够除挨着商；②求商，24÷22隔位商1；③减去商与除数的乘积24－1×22=2；④再求商，将2移下来得到22，22÷22商1；⑤减去商与除数的乘积22－1×22=0，刚好除完，得到最后的结果为11。（见图2）

用除数22和被除数24相比，24比22大，用“大数”口诀除。

“大数空加一”在被除数左边隔一位进一。“隔位减除数”，在商右边起隔一位减22。余数22和除数相等，仍用“大数”口诀去除。

“大数空加一”，“隔位减除数”，正好除尽，商11。

3.除法竖式

由国立编译馆主编，商务印书馆印行的民国《初级小学算术课本》（1948年4月第二次修订本第三版）第四册中，把现在的除法竖式符号称为“直式除号"。（见下图3）新中国建国后的教材都称为竖式除号。

从上面的分析可以看出，筹算除法与珠算除法的运算过程有除法竖式的雏形，但还不是真正意义的除法竖式，因为它们在形式上都没有除法的“直式”。因此，可以说在我国真正意义的除法竖式应该从清代开始。

我国清代康熙皇帝主持编写了《御制数理精蕴》，在下编卷一的“归除”中就专题介绍了除法运算，基本思路就是利用类似乘法竖式的写法计算除法。比如，针对问题“设如有物重三百八十四两，问得斤数若干？”也就是384÷16的计算，采用了如下图4的写法：

原文对计算过程的描述为：法以三百八十四两为实列于下，每斤一十六两为法列于上，爰看实之三八，足法之二倍，故书二于法上，乃以得数之二，与法之一六相因得三十二，书于实下，与实相减余六，次取实数之四，书于减余之后共为六四，因足法之四倍，故书四于上，乃以得数之四，与法之一六相因得六十四，书于实下，与实相减恰尽，即得数为二十四斤也，定位因法之两数为单位，而与实之十位相对，故知得数为二十四斤也。

这个过程可以用现在的语言分解如下几个步骤：

第一步：把被除数“384”写在下面，除数“16”写在上面。这里因为16小于38，所以除数16书写的位置要与38对齐。

第二步：因为被除数的前两位38是除数16的2倍多，所以把商2写在除数上面，与被除数的十位对齐。

第三步：将得数2与除数16相乘得32，写在被除数384下面。这里32写在38下面表示32个十。

第四步：被除数与32相减剩下6，再把个位上的4落下来继续除，64除以16得4，把商4写在除数上面，与被除数的个位对齐。

第五步：得数4与除数16相乘得64，64写在被除数下面，与被除数相减正好减完，所以得数为24。

在《御制数理精蕴》中还有小数除法的例子，比如：（1）“设如有田四十五亩六分，共纳谷五十七石，问每亩纳谷若干？”也就是57÷45.6的计算，采用了如下图5的写法：

原文对计算过程的描述为：法以五十七石为实列于下，四十五亩六分为法列于上，因法之首位四，小于实之首位五，故列法与实相齐，又因实之位数少于法故补作〇以足其位，爰看实之五七〇，足法之一倍，故书一于法上，乃以得数之一，与法之四五六相因，仍得四五六，书于实下，与实相减，余一一四，此后实无余位，故添书一〇于减余之末，为次商实，爰看一一四〇，足法之二倍故书二于上，乃以得数之二，与法之四五六相因，得九一二，书于实下，与实相减，余二二八，又添书一〇于减余之末，为三商实，爰看二二八〇，足法之五倍，故书五于上，乃以得数之五，与法之四五六相因，得二二八〇，书于实下，与实相减恰尽，即得数为一石二斗五升也，定位因法之五亩为单位，而与实之石位相对，故得数首位为石是知每亩纳谷一石二斗五升也。

题中的竖式应是“57÷45.6=1.25”，但在竖式计算时已经运用了商不变性质，将算式“57÷45.6”的被除数与除数同时扩大10倍转化为“570÷456”。这样，最上面的商一二五还是1.25。如果把这个竖式中的除数“四五六”移出来写到左侧，商补上小数点，就与现在教科书中的除法标准竖式的写法基本一致了。

（2）“设如有丝四十五斤，共织得缎九十二丈二尺五寸，问每斤织得若干？”也就是92.25÷45的计算，采用了如下图的写法：

图6竖式中“九二二五”是被除数92.25，“四五”是除数45，最上面的“二〇五”是商2.05。与其他竖式相比，被除数“九二”上面没有横线，这样做的目的是以示区别被除数的整数部分“九二”与小数部分“二五”，最终区别了商的整数部分“二”与小数部分“〇五”。

二、古代外国除法的演变过程

（一）“÷”的产生

古代阿拉伯人曾用过两个数之间加一条短线“-”的方法表示相除。中世纪时，阿拉伯数学相当发达，数学家阿尔•花拉子米曾用“3/4”来表示3被4除。有人认为，现在通用的分数记号源于此。

1544年，德国数学家施蒂费尔在他出版的《整数算术》（Arithmetica integra）中以一个或一对括号作除号（Signs for division），如以 8)24或8)24(表示24÷8；奥特雷德则以a)b(c来表示b÷a=c；J．马洪（1701年）则以D)A+B-C表示(A+B-C)÷D。至1545年，施蒂费尔又改以大写德文字母D表示除（Division），其后，斯蒂文亦采用了这符号，而戈里马德（1751年）则以字母D的反写表示除。

我们最熟悉的除号“÷”,最初在欧洲曾作为减法符号，如德国数学家里斯(A.Riese，1489-1559)在其1522年出版的《商业算术》中就是用“÷”号表示减法。

用符号“÷”表示除号，应归功于瑞士数学家雷恩(J.H.Rahn)。1659年，雷恩出版了其《代数》(Algebra)，其中第一次引用“÷”作为除号。至1668年，他这本书之英译版面世，这记号亦得以流行，沿用至今。所以后人把除号“÷”称为雷恩记号。

雷恩是在解决把一个整数分成几份的问题时，因没有符号可以表示这种分法，故就采用了“÷”号。除的本意就是分，符号“÷”的中间横线把上、下两部分分开，可谓形象表示了“分解”之意。

（二）古代外国除法竖式的演变

除法是四则运算中难度最大的一种，历史上出现过许多现在看起来极其烦琐的计算方法。

1.用乘做除

古代埃及的算术最基本的是加法，而乘法就是加法的重复，也就是通过逐次加倍的程序来完成。而在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，即除数取代被除数的地位而被拿来逐次加倍。这是因为古埃及人认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在具体的计算之中。（杜石然，2009）比如，在兰德纸草书第69页，计算1120÷80的过程如下：

以上求解的基本思路是将除数80通过加倍凑出被除数1120。第一次将80加倍得到160；第二次将160加倍得到80的4倍即320，恰好80的10倍加80的4倍是1120，所以1120÷80的得数是14。

2.用减做除

古埃及人除法计算的思路说明了除法的本源是减法，这一观点可以在古代的印度、阿拉伯同样得到验证。古印度数学家婆什迦罗Ⅰ认为，乘法和除法可以相应地转化为加法和减法。古代阿拉伯数学家花拉子米定义乘法为重复相加，除法为重复相减。历史上众多算法中可以发现，在18世纪前后的欧洲还沿袭“用减做除”的算法。比如：以“1554÷37”为例，具体计算过程如下图8。

值得一提的是古巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表。可惜，找了很多资料，都没有看到古巴比伦人的倒数表。

3.乘减做除

与现在除法竖式比较接近的一种，是出现于公元980年的Gerbert方法，计算900÷8的过程如下（见图9）。

Gerbert方法与现在标准除法竖式不同的是将除数8写为“10-2”，将商写在被除数右侧，而且并不是取最大数作为试商，而是取便于计算的数。

上述过程的第一步选择商为90，是为了与10相乘得到900；第二步商18是为了与10相乘凑出180，以下依次类推。这种除法的最大缺点是求商过程极其烦琐，一道除法算式相当于计算现在的整十数除法加一位数除法。

Gerbert方法经过演变，还出现过如图10所示逐级写商的除法竖式。

这个过程的特点是将标准算法中隐藏的位值原理显现出来了，表面看书写比较烦琐，但过程更加自然、直观。

后来人们想出更好的办法是首先罗列除数的1至9倍数，而后从被除数的高位开始逐步减去最接近被除数的倍数（相当于现在的试商），过程中在被除数右侧逐步记录减去的倍数，减完后这个记录的倍数就是最后的结果。比如：22028148÷423的具体计算过程如下图11。

图11“22028148÷423”的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍，而后从被除数高位看，发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202，这将2115写在2202下做减法，同时将“5”记录在右侧；减得的结果是878，在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878，所以重复前面的过程，将846写在878下面做减法，将2记录在右侧5的旁边，依次类推。这个过程直到减法结果为0，说明被除数22028148中包含了52076个除数423，也就是这个除法的结果是52076。

这种除法竖式的计算方法经过演变，将罗列除数的倍数这个过程省略，就成为如图12所示的除法竖式。

我们只要将这种除法竖式的商写到被除数的上方，就是现在数学教材中的除法竖式了。

当然，历史上除法竖式出现用冒号“：”代替现在用的竖式除号，17世纪德国数学家莱布尼兹在他的一篇论文《组合的艺术》中首次以冒号“：”表示除，后亦渐通用，至今仍采用。（见图13）

上图就是德国现在使用的小学数学教科书中“744÷3”的计算过程。整个计算过程实际上是除法横式与竖式的“合二为一”，省略了除法竖式的除数、商和除号。

三、除法符号的历史演变对教学的启示

纵观千余年的历史，除法符号经历了若干次演变，才成为今天的形式。除法符号的历史演变对我们教学主要有两点启示。

第一，竖式是笔算的工具，属于人们发明的知识，其作用是减轻计算过程中的思维负担。除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的联系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。

第二，除法竖式的表现形式为程序性的运算，如果不理解其实质，仅靠死记硬背和机械运算，就容易出现差错。因此，除法竖式的教学，要让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清“要分层书写”“除到哪一位商到哪一位”和“不够除补零”等形式中隐含的算理，并在此基础上领悟学习除法竖式的便捷性。

主要参考文献

[1] 顾汝佐，叶季明，王明欢. 小学数学全书[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2] 杜石然，孔国平. 世界数学史(自然科学史丛书)[M]，长春：吉林教育出版社，2009.

[3]［清］御制数理精蕴：下编卷一 ［Ｍ］／／钦定四库全书子部．

[4]曾小平，韩龙淑. 除法竖式的发展与教学[J]. 小学教学(数学版),2011,(11):46-48.

[5]郜舒竹. 用“联系”的眼光看竖式[J]. 教学月刊小学版(数学),2014,(03):4-6+29.

[6]郜舒竹. 笔算方法多样性的历史考察[J]. 课程·教材·教法,2016,36(01):88-94.

开开心心笑一笑

儿子拿回成绩单。

老爸说：数学0分，语文1分。

儿子点点头，颤抖中...

空气凝结，气氛无比恐怖，感觉大事不妙...

老爸深吸一口烟，

说道：儿子 啊，你有点偏文科呀！

儿子说：老爸，我下次数学多考1分，就不偏科呀！

审核人：朱煜铭 陈春妮返回搜狐，查看更多