首先介绍一下什么是阿波罗尼斯圆:

已知平面上两点 A , B A, B A,B, 则所有满足 P A P B = k \frac{PA}{PB}=k PBPA​=k 且不等于 1 1 1 的点 P P P 的轨迹是一个以定比 m : n m:n m:n 内分和外分定线段 A B AB AB 的两个分点的连线为直径的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.

我翻了半天知乎, 发现没有人写阿波罗尼斯圆在最一般的情况下方程的推导, 遂作此文. 当然, 很大一部分原因是我下边写的这种推导十分麻烦, 不如以所给的两定点为 x x x 轴来研究.

那么下边我将以最一般的情况, 用解析几何的方法来推导.

在平面直角坐标系中，已知 A A A 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1​,y1​)， B B B 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2​,y2​) （ A , B A,B A,B 互异），设动点 P P P 的坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y), 满足 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k ( k > 0 且 k ≠ 1 ) \frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k \quad (k>0 且 k\neq1) ∣PB∣∣PA∣​=k(k>0且k=1). 易得 ∣ P A ∣ = ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 , ∣ P B ∣ = ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 . \begin{gather*} |PA| = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} ,\\ |PB| = \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} . \end{gather*} ∣PA∣=(x−x1​)2+(y−y1​)2 ​,∣PB∣=(x−x2​)2+(y−y2​)2 ​.​ 由 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k \frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k ∣PB∣∣PA∣​=k, 即 ∣ P A ∣ = k ∣ P B ∣ |PA| = k|PB| ∣PA∣=k∣PB∣, 对两边平方后将上一行的两式带入得 ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 = k 2 [ ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 ] , (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=k^2[(x-x_2)^2+(y-y_2)^2] , (x−x1​)2+(y−y1​)2=k2[(x−x2​)2+(y−y2​)2], 展开整理后得到 ( 1 − k 2 ) x 2 + ( 1 − k 2 ) y 2 + 2 ( k 2 x 2 − x 1 ) x + 2 ( k 2 y 2 − y 1 ) y + x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 = 0 , (1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2+2(k^2x_2-x_1)x+2(k^2y_2-y_1)y+x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2=0 , (1−k2)x2+(1−k2)y2+2(k2x2​−x1​)x+2(k2y2​−y1​)y+x12​−k2x22​+y12​−k2y22​=0, 等号两边同除以 ( 1 − k 2 ) (1-k^2) (1−k2), 得到 x 2 + y 2 + 2 ( k 2 x 2 − x 1 ) 1 − k 2 x + 2 ( k 2 y 2 − y 1 ) 1 − k 2 y + x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 1 − k 2 = 0. x^2+y^2+\frac{2(k^2x_2-x_1)}{1-k^2}x+\frac{2(k^2y_2-y_1)}{1-k^2}y+\frac{x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2}{1-k^2}=0 . x2+y2+1−k22(k2x2​−x1​)​x+1−k22(k2y2​−y1​)​y+1−k2x12​−k2x22​+y12​−k2y22​​=0. 可以配一下方，那么可以得到   ( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 =   ( k 2 x 2 − x 1 ) 2 + ( k 2 y 2 − y 1 ) 2 + ( k 2 − 1 ) ( x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 ) ( 1 − k 2 ) 2 =   k 4 x 2 2 − 2 k 2 x 1 x 2 + x 1 2 + k 4 y 2 2 − 2 k 2 y 1 y 2 + y 1 2 + ( k 2 − 1 ) x 1 2 + ( 1 − k 2 ) k 2 x 2 2 + ( k 2 − 1 ) y 1 2 + ( 1 − k 2 ) k 2 y 2 2 ( 1 − k 2 ) 2 =   k 2 x 1 2 + k 2 x 2 2 − 2 k 2 x 1 x 2 + k 2 y 1 2 + k 2 y 2 2 − 2 k 2 y 1 y 2 ( 1 − k 2 ) 2 =   k 2 ( 1 − k 2 ) 2 [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] , \begin{equation}\notag \begin{split} &\ \left(x+\frac{k^2x_2-x_1}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_2-y_1}{1-k^2}\right)^2 \\ =&\ \frac{(k^2x_{2}-x_{1})^2+(k^2y_{2}-y_{1})^2+(k^2-1)(x_{1}^2-k^2x_{2}^2+y_{1}^2-k^2y_{2}^2)}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^4x_{2}^2-2k^2x_{1}x_{2}+x_{1}^2+k^4y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}+y_{1}^2+(k^2-1)x_{1}^2+(1-k^2)k^2x_{2}^2+(k^2-1)y_{1}^2+(1-k^2)k^2y_{2}^2}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2 x_{1}^2+k^2x_{2}^2-2 k^2x_{1} x_{2}+k^2 y_{1}^2+k^2y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] ,\\ \end{split} \end{equation} ====​ (x+1−k2k2x2​−x1​​)2+(y+1−k2k2y2​−y1​​)2 (1−k2)2(k2x2​−x1​)2+(k2y2​−y1​)2+(k2−1)(x12​−k2x22​+y12​−k2y22​)​ (1−k2)2k4x22​−2k2x1​x2​+x12​+k4y22​−2k2y1​y2​+y12​+(k2−1)x12​+(1−k2)k2x22​+(k2−1)y12​+(1−k2)k2y22​​ (1−k2)2k2x12​+k2x22​−2k2x1​x2​+k2y12​+k2y22​−2k2y1​y2​​ (1−k2)2k2​[(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2],​​ 即 ( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 = k 2 ( 1 − k 2 ) 2 [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] . (x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2})^2+(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2})^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] . (x+1−k2k2x2​−x1​​)2+(y+1−k2k2y2​−y1​​)2=(1−k2)2k2​[(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2]. 由于 k > 0 k>0 k>0 且 k ≠ 1 k\neq 1 k=1, 并且 A , B A,B A,B 两点互异, 所以等号右边的式子始终大于 0 0 0 , 所以这便是圆的标准方程.

这样我们就得到了阿波罗尼斯圆的方程. 实际上, 也就证明了阿波罗尼斯圆的命题.

由上式可知此情况下圆心为 ( k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 , k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) . \left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) . (1−k2k2x2​−x1​​,1−k2k2y2​−y1​​). 观察最后得到的这个式子, 不难发现 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = ∣ A B ∣ 2 . (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=|AB|^2 . (x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2=∣AB∣2. 那么, 阿波罗尼斯圆的半径可以表示为 R = ∣ k 1 − k 2 ∣ ⋅ ∣ A B ∣ . R=\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| . R= ​1−k2k​ ​⋅∣AB∣. 综上

在平面直角坐标系中, 已知 A A A 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1​,y1​), B B B 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2​,y2​) ( A , B A,B A,B 互异), 设动点 P P P 的坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y), 满足 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k ( k > 0 且 k ≠ 1 ) \frac{|PA|}{|PB|}=k \quad (k>0且k\neq 1) ∣PB∣∣PA∣​=k(k>0且k=1), 那么点 P P P 的轨迹是阿波罗尼斯圆, 方程为 ( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 = ( k 1 − k 2 ∣ A B ∣ ) 2 , \left(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right)^2=\left(\frac{k}{1-k^2}|AB|\right)^2 , (x+1−k2k2x2​−x1​​)2+(y+1−k2k2y2​−y1​​)2=(1−k2k​∣AB∣)2, 圆心为 ( k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 , k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) , \left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) , (1−k2k2x2​−x1​​,1−k2k2y2​−y1​​), 半径为 ∣ k 1 − k 2 ∣ ⋅ ∣ A B ∣ . \left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| . ​1−k2k​ ​⋅∣AB∣. 以上.

原文： 知乎 - 一般情况下的阿波罗尼斯圆的方程的推导过程 博客园 - 一般情况下的阿波罗尼斯圆的方程的推导过程