简单讲一下什么是各向异性：

晶体中的物理化学性质，沿着不同的方向，不同的平面，往往是不同的，这种现象称为各向异性。

例如：①硅，锗，砷化镓，在外力的作用下，容易沿着特定的平面劈裂开来，这个叫做晶体的解理性。你以切片为衬底造了那么多的芯片，你拿金刚刀一划就切开了？就是因为解理性，可以沿着这个方向劈开，沿着特定的方向和平面劈裂开来。

②另外，锗，硅，砷化镓在化学腐蚀液中的腐蚀速度是各向异性的。比如我切出来一个硅片，有一个地方没有氧化膜保护是裸露的，这个地方就会被腐蚀液腐蚀，如果它只往下腐蚀，或者只沿着缺口向左右腐蚀，这样叫做各项异性，你要是各个方向都腐蚀了，这叫各项同性。所以我们说硅的化学腐蚀速度，在不同的平面不同的方向也是不一样的。这个可以通过分析金刚石结构的晶胞的原子排列方式是可以解释这个问题的。

正式开讲：

晶向和晶面（要讨论各向异性，首先得把晶体的方向和平面给定义出来）

晶格：晶体是由晶胞周期性重复排列而成，整块晶体如同网格，称为晶格。在晶格里面就成了短横线和点。组成晶体的原子（也可以是离子）的重心位置称为格点（是原子，离子的重心位置，不是晶格的；重心位置就是平衡位置，因为温度是微观粒子平均动能的标志，组成晶体的原子在一定温度下是要在平衡位置做震动的，晶体在格点位置做震动）。格点的总体（全部格点合起来）我们把它称为点阵。

在立方晶系中（它的晶胞是正立方体），我们通常取某一格点为坐标原点O，再沿着立方晶系中三个相互垂直的边OA,OB,OC，作三个坐标轴，我们分别把它叫做X,Y,Z轴，因为是晶体中的坐标轴，我们简称为晶轴。其中OA,OB和OC的长度相等，为晶格常数a，并以a作为晶轴的长度单位，

晶轴是有方向的，我们再规定一下方向，a，b，c三个矢量被称为“基矢”（意思是基本矢量）

好，现在我们把晶轴确立了，下一个问题就是如何表示晶体的方向了。

晶体是什么？是组成晶体的原子（或者离子）周期性重复排列的，所以如果我在平面上画的话应该是规则排列的，示意一下，可以画成如图所示的情况，我们画出的哪些点是格点。

在晶格当中，连接任意两个格点，可以做一直线（不同的画法都可以，横着斜着都行，得到的是不同的晶列），那么剩下的所有格点必然位于和该直线平行等距的直线系——这样的直线系称为“晶列”，晶列的取向称为“晶向。”

在坐标系中随意连接两点，比如连接O和P，就构成了一个晶向；我们称为位移矢量OP，位移矢量显然可以在坐标系的三个晶轴上做出三个投影。

那我们可不可以用OP在晶轴上的三个投影l1,l2,l3,作为表示晶向的方法？看起来是可以的，但有一个小问题，位移矢量是可以延长的，这样虽然晶向是一样的，但是投影长度是不一样的，方向延长后，投影值成倍的增大，这怎么办？

所以，我们取l1,l2,13的互质整数（先互质，再取成整数），意思就是l1:l2:l3=m:n:p,但是m，n，p之间没有公约数了，另外它都是整数。记作【mnp】，称【mnp】为晶列指数，当作晶向也行。

mnp里面会不会有负的？会！因为你晶轴取定之后一定会有反方向嘛。那这个负号写在哪里？写在mnp对应字母的上方，就和数电里面记为A非，B非，一样，在上面画横线。

我们规定坐标轴（xyz三个）和坐标轴的反方向(-x,-y,-z三个)为同一类晶向，对于同类晶向我们用表示。方括号特指某一个方向，角括号表示的是同一类的方向。

表示了6个方向的晶向

表示了8个方向的晶向

表示了12个方向的晶向

按照我的理解，他这个同一类还真是同一类，指的是同种规则构成的晶向，像表示的就是晶轴和晶轴反方向的晶向，可以认为表示的是立方晶系的棱；表示的就是空间对角线方向（或者体对角线方向）的晶向，8个嘛；就是面对角线方向的晶向，3个面，xyo，xoz，oyz三个面，每个面有四个面对角线方向，一共12个。

之前，我们定义金刚石结构和闪锌矿结构是这么定义的：由两种同种原子或者两种不同原子构成的面心立方结构沿着空间对角线的方向，相互平移四分之根号三a套构而成。现在我们学了晶向了，我们换一种方式来说明：所谓金刚石结构或者闪锌矿结构，是由两个同种原子或者两个不同原子构成的面心立方沿方向，相互平移四分之根号三a套构而成。

现在我们扩展一下，把刚才的二维点阵切换到三维，我们会发现，我们刚刚说的“剩下的所有格点必然位于和该直线平行等距的直线系——这样的直线系称为‘晶列’ ”，这句话，可以把“直线系”更换称“平面系”，依然成立。

所以，晶体当中的所有原子（离子）也可以看作是位于一系列平行等距的平面系上——称为晶面族。

那问题来了，我怎么表示一个晶面？一个平面和晶轴是会有交点，会有截距；emmm，如果晶面和某一条轴平行的话，那就有轴没有截距，或者说截距是无穷大。如果是后者的话就不太好，所以我们不直接取截距来表示晶面。于是我们取晶面与三个晶轴的截距r,s,t的倒数，这样能解决与某个轴平行的问题，取倒数就可以表示为0了嘛。但是，还是有问题，因为（222）和（888）表示的都是同一个平面（？我怎么听不懂啊？截距不一样你取倒数也不一样啊？为啥是同一个平面啊？）于是我们要取晶面与三个晶轴的截距r,s,t的倒数1/r,1/s,1/t的互质整数，即1/r：1/s：1/t=h:k:l,记作（h：k：l），称（h：k：l）为晶面指数，或者称作Miller指数。（如果按老师这样讲，所有平行的晶面都是一个面啊）

晶面指数会不会有负号？会，如果有负号，负号写在相应指数的上方。在一些晶体中晶面是没有正反之分的，但是一些晶体中又确实有，比如说砷化镓。

有同类晶向，也有同类晶面（比如面心立方结构，八个顶角各有1个原子，六个面的面心各有一个原子。面心立方结构的6个面属于同一类晶面），同类晶面用{hkl}来表示。

下面我们表示一下常见的晶列和晶面：

对于上面常见的晶列和晶面我们可以发现一个规律：在立方晶系中，晶列指数和晶面指数相同的晶列和晶面之间是互相垂直的。也就是说什么？晶向刚好是晶面的法向。另外，晶向和晶向之间，晶面和晶面之间是有夹角的，（100）面和{100}面的夹角除了0°还有90°，晶面和同类晶面之间的夹角嘛。下面列举某一个特定的晶面和同类的晶面之间的夹角：

这个图怎么看：第一列表示特定的晶面，比如（100）；

第二列是特定的某一类晶面，这里柴老师表中包含了四类晶面；

第三列是具体的夹角值，有的晶面和某一类晶面有两个，三个甚至四个夹角值，而有的只有一个。

自己对着图演示一遍，它的夹角是不是和表中的夹角一致：

柴老师说之后他的学生学回旋共振实验，它的实验结果为什么是这样这样的吸收峰的个数，就和它的夹角是有关系的。

这下我们把晶向和晶面讨论清楚了，为后面讨论各向异性奠定了基础。

下面我们来讨论“金刚石结构的各向异性”：

出题方面会考察：这一族晶面中的一个晶面，它单位面积上有多少个原子，因为是同族的，后面那几个都是；还可以考察两个相邻的晶面之间的原子有多少个共价键连接。

另外如果单位面积上的共价键多，面和面之间的距离又近，表明这两个相邻面结合的紧密，这么说，是不是结合的紧密的两个晶面沿着垂直共价键的方向施加力不容易断开，嗯，确实是这样的。

相反的情况，那施加横向的力就容易解离开。

所以我们讨论金刚石的各项异性就是在几个常用的晶向和晶面上我们来考察一下，它“面间距的大小”“单位面积上有多少个原子”“在相邻的面上，原子和原子之间有几个共价键连接”。

定义：

1）晶面之间的垂直距离为面间距。

2）单位面积上的原子个数为原子面密度。

3）单位面积上的共价键数为共价键面密度。

4）单位长度上的原子个数为原子线密度。

①沿晶向和{100}晶面上的原子排列

画上共价键之后的金刚石结构

图中画出来的是方向的晶向和与之垂直的{100}面，图中的{100}面上包含了金刚石结构所有的原子，哦，这些面还是等间距的。（虽然我不明白晶向这一类晶向为什么画称向上的，老师怎么画我就怎么看吧。好的，看到后面我知道了，老师只是在6个的6个晶向里面随便挑了一个晶向来示范而已，哭笑）

a.{100}晶面间的面间距是1/4a；

b.{100}晶面上的原子面密度=2/a²  ，你会发现图中的5个平面每个（100）面全部都是单位面积有两个原子。

(注：面密度只看同一平面上一个原子被几个相邻的单位面积分，体密度就看立体的，在这里最上层一个角上的原子被四个单位面积共有，你要看体密度的话那就是只拥有1/8)

c.{100}晶面上的共价键面密度= 4/a² 

（注：共价键面密度刚好是原子面密度的两倍，一个原子是有4个共价键，而一个面上的原子和相邻面上的原子有两个共价键，。要知道一个四面体最中间的原子和角上的四个原子形成四个共价键，在金刚石结构由四个正四面体结构构成，左上面的正四面体的四个顶点分别是上左前上面的面心和最前面的顶角，四面体的体心是1/4对角线处的原子，一个中心原子和第一层和第三层之间各有两个共价键。所以第二层和第一层有4个共价键。当然也可以再在验证一下其他层数单位面积之间的共价键数量。）

d.晶向上的原子线密度=  1/a

（6个晶向随便取）（上面我们说了面密度和体密度的区别，同理，线密度和面密度也是有区别的，算线密度就只在一条线上算，一个原子被两个单位长度共用，所以一个原子是1/2）。

你要讨论各项异性就把第二个方向再拿来讨论嘛：

②沿晶向和{110}晶面上的原子排列

在一个完整晶胞的面对角线上，你可以做出5个{110}面，把面对角线长度4等分，所以：

a.{110}晶面的面间距为四分之根号二

b.{110}晶面的原子面密度= 二倍根号二/a²

（注：这5个面不是每一个面都相等的，我们拿面积最大的面来算，是根号二a²，一个面上的原子个数是：4×1/4+2×1/2+2=4）

c.{110}晶面的共价键面密度=二倍根号二/a²

（这次一个原子在相邻两层只有一个共价键相连了，所以晶面的共价键面密度和原子面密度是一致的，你会发现面与面之间连接的核心还是正四面体的中心原子，在{110}面上的正四面体有两个原子和中心原子一个面，上下两个分别位于其他两个面，所以相邻的两个面之间中心原子只有一个共价键）

d.晶向上的原子线密度= 根号二/a

（注：这里的单位长度是根号二a）

由于沿晶向和{111}晶面上的原子排列较为复杂，下次课再讲，这次先提示一下，方便大家下去预习：

这个叫密排面：

晶体是三维的，是堆落起来的

注意：这里的A,B,C,A，只有A指的是左边的密排面，BC这两层都是三个原子由构成的，按照密排面的红色位置或者蓝色位置错开放置两层。

B的三原子放在红色区域，C这一层的三个原子有两种情况，一种是和B的排布相同——三个放在红色区域，或者不同——放在蓝色区域，其实图中写BC就是表明两种不同情况。再往上排，由于它要周期性就只能重复A，沿着ABCA...这样的顺序排下去。

大家注意ABCA这样的排列方法恰好是我们的面心立方沿方向的原子排列方式。

好的，这节课的笔记就做到这里，后续的沿晶向和{111}晶面上的原子排列写在“砷化镓晶体的极性”的课程笔记里面。