共轭性质 考虑 F ( m ) 和 F ( N − m ) F(m)和F(N-m) F(m)和F(N−m)； F ( m ) = ∑ k = 0 N − 1 f ( k ) W N m k F(m)=\sum_{k=0}^{N-1}{f(k)}W_N^{mk} F(m)=∑k=0N−1​f(k)WNmk​，其中 W N m k = e − j 2 m k π N W_N^{mk}=e^{-j\frac{2m k\pi}{N}} WNmk​=e−jN2mkπ​； F ( N − m ) = ∑ k = 0 N − 1 f ( k ) W N ( N − m ) k F(N-m)=\sum_{k=0}^{N-1}{f(k)}W_N^{(N-m)k} F(N−m)=∑k=0N−1​f(k)WN(N−m)k​，其中 W N ( N − m ) k = e − j 2 π e j 2 m k π N W_N^{(N-m)k}=e^{-j{2\pi}}e^{j\frac{2mk\pi}{N}} WN(N−m)k​=e−j2πejN2mkπ​，其中 e − j 2 π = 1 e^{-j{2\pi}}=1 e−j2π=1，通过欧拉公式推导； F ( N − m ) = ∑ k = 0 N − 1 f ( k ) W N − m k F(N-m)=\sum_{k=0}^{N-1}{f(k)}W_N^{-mk} F(N−m)=∑k=0N−1​f(k)WN−mk​，所以 F ( m ) 和 F ( N − m ) F(m)和F(N-m) F(m)和F(N−m)二者共轭；

幅值 N f ( k ) = ∑ m = 0 N − 1 F ( m ) W N − m k N f(k)=\sum_{m=0}^{N-1}{F(m)}W_N^{-mk} Nf(k)=∑m=0N−1​F(m)WN−mk​； N f ( k ) = F ( 0 ) + F ( 1 ) W N − k + F ( 2 ) W N − 2 k + . . . + F ( c ) W N − c k + . . . + F ( N − 1 ) W N − ( N − 1 ) k Nf(k)={F(0)}+{F(1)}W_N^{-k}+{F(2)}W_N^{-2k}+...+{F(c)}W_N^{-ck}+...+{F(N-1)}W_N^{-(N-1)k} Nf(k)=F(0)+F(1)WN−k​+F(2)WN−2k​+...+F(c)WN−ck​+...+F(N−1)WN−(N−1)k​，c为中间某项； 复数可表示为： F ( c ) = a c + j b c {F(c)=a_c+jb_c} F(c)=ac​+jbc​， F ( N − c ) = a c − j b c {F(N-c)=a_c-jb_c} F(N−c)=ac​−jbc​；

欧拉公式： e j x = c o s x + j s i n x e^{jx}=cosx+jsinx ejx=cosx+jsinx，代入 W N ( N − m ) k W_N^{(N-m)k} WN(N−m)k​

F ( c ) W N − c k + F ( N − c ) W N − ( N − c ) k {F(c)}W_N^{-ck}+{F(N-c)}W_N^{-(N-c)k} F(c)WN−ck​+F(N−c)WN−(N−c)k​ = 2 a c c o s 2 c k π N − 2 a c s i n 2 c k π N =2a_ccos\frac{2ck\pi}{N}-2a_csin\frac{2ck\pi}{N} =2ac​cosN2ckπ​−2ac​sinN2ckπ​ = 2 a c 2 + b c 2 c o s ( 2 c k π N + φ c ) =2\sqrt{a_c^2+b_c^2}cos(\frac{2ck\pi}{N}+\varphi_c) =2ac2​+bc2​ ​cos(N2ckπ​+φc​)

即如下代码所示

频率 f ( k ) ⇒ f ( k T S ) ⇒ f ( k / f S ) f(k)\Rightarrow f(kT_S)\Rightarrow f(k/f_S) f(k)⇒f(kTS​)⇒f(k/fS​)，k表示第k个采样点，对应的时间是 k T s kT_s kTs​，最终只需把k替换成 f s t f_st fs​t即可得到初始信号 f ( t ) f(t) f(t) f ( k ) ⇒ f ( t ) f(k)\Rightarrow f(t) f(k)⇒f(t) 根据上述幅值的推导： F ( c ) W N − c k + F ( N − c ) W N − ( N − c ) k {F(c)}W_N^{-ck}+{F(N-c)}W_N^{-(N-c)k} F(c)WN−ck​+F(N−c)WN−(N−c)k​ = 2 a c c o s 2 c k π N − 2 a c s i n 2 c k π N =2a_ccos\frac{2ck\pi}{N}-2a_csin\frac{2ck\pi}{N} =2ac​cosN2ckπ​−2ac​sinN2ckπ​ = 2 a c 2 + b c 2 c o s ( 2 c k π N + φ c ) =2\sqrt{a_c^2+b_c^2}cos(\frac{2ck\pi}{N}+\varphi_c) =2ac2​+bc2​ ​cos(N2ckπ​+φc​) 即N项和式中，第c项、倒数第c项之和，可以用上式表达 那么： N f ( k ) = ∑ c = 0 N / 2 − 1 2 a c 2 + b c 2 c o s ( 2 c k π N + φ c ) N f(k)=\sum_{c=0}^{N/2-1}2\sqrt{a_c^2+b_c^2}cos(\frac{2ck\pi}{N}+\varphi_c) Nf(k)=∑c=0N/2−1​2ac2​+bc2​ ​cos(N2ckπ​+φc​) f ( k / f s ) ⇒ f ( t ) f(k/f_s)\Rightarrow f(t) f(k/fs​)⇒f(t)，把k替换成 f s t f_st fs​t N f ( t ) = ∑ c = 0 N / 2 − 1 2 a c 2 + b c 2 c o s ( c f s N ( 2 π t ) + φ c ) N f(t)=\sum_{c=0}^{N/2-1}2\sqrt{a_c^2+b_c^2}cos(\frac{cf_s}{N}(2\pi t)+\varphi_c) Nf(t)=∑c=0N/2−1​2ac2​+bc2​ ​cos(Ncfs​​(2πt)+φc​) 从而得到 f = c f s N f=\frac{cf_s}{N} f=Ncfs​​，c取（0，1，2…N/2-1） 即如下代码所示：

这里对每个点都进行了恢复； 事实上只需要一半，因为当c>N/2时， F ( m ) 和 F ( N − m ) F(m)和F(N-m) F(m)和F(N−m)就开始和前面(0,N/2)重复。