浮点数的规格化表示 & 非规格化表示 |
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浮点数的规格化表示 & 非规格化表示
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1 浮点数的一般表示2 IEEE 754标准的浮点数2.1 浮点数的格式2.2 浮点数的取值范围2.3 类型转换时的精度损失和溢出例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数
1 浮点数的一般表示
J
f
J_f
Jf
J
1
J
2
…
J
m
J_1J_2\dots J_m
J1J2…Jm
S
f
S_f
Sf
S
1
S
2
…
S
n
S_1S_2\dots S_n
S1S2…Sn阶符阶码数符尾数
阶码的位数决定了浮点数的表示范围的大小，尾数的位数决定了浮点数的表示精度 阶符：阶码的符号位。1为负；0为正阶码：即幂的大小。设幂 e = ( J 1 J 2 … J m ) 2 e=(J_1J_2\dots J_m)_2 e=(J1J2…Jm)2数符：尾数的符号位。1为负；0为正尾数：尾数的大小。设尾数 M = ( S 1 S 2 … S n ) 2 M=(S_1S_2\dots S_n)_2 M=(S1S2…Sn)2一般基数 r = 2 r=2 r=2，则浮点数真值 N = ( − 1 ) J f ∗ r e ∗ ( − 1 ) S f ∗ M N=(-1)^{J_f}*r^e*(-1)^{S_f}*M N=(−1)Jf∗re∗(−1)Sf∗M 2 IEEE 754标准的浮点数 2.1 浮点数的格式 m s m_s ms E E E M M M数符阶码，用移码表示尾数，用原码表示 类型数符阶码尾数总位数阶码偏置值（十进制）指数范围(真值表示)指数范围(移码表示)短浮点数182332127[-126，+127][+1，+254]长浮点数11152641023[-1022，+1023][+1，+2046]临时浮点数115648016383[-16382，+16383][+1，+32766]从上表可以看出，IEEE 754标准的浮点数有短浮点数（单精度、float型）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数三种，且数据由三部分组成： 数符：尾数的符号位。1表示负；0表示正阶码：表示数的幂，基为2，用移码表示尾数：表示数的小数部分，基为2，用原码表示。且隐藏了一位1，这样是为了多表示一位有效位（临时浮点数无隐含的1）因此可知，一个IEEE 754标准的浮点数的值为 N = ( − 1 ) m s ∗ 2 E ∗ ( 1. M ) 2 N=(-1)^{m_s}*2^E*(1.M)_2 N=(−1)ms∗2E∗(1.M)2 两点说明 1、关于阶码 1.1、为什么用移码表示 补码不能直观的表示数据的大小，比如一个8位的数据：用补码表示 ( − 1 ) 10 = ( 11111111 ) 2 = F F H ， ( 8 ) 10 = ( 00001000 ) 2 = 08 H (-1)_{10}=(11111111)_2=FFH，(8)_{10}=(00001000)_2=08H (−1)10=(11111111)2=FFH，(8)10=(00001000)2=08H，8是大于-1的，但是补码的话 FFH > 08H，这与实际结果正好相反；而移码通过加上一个偏置值（若数据为 n 位，则通常取偏置值为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1，将符号位取反即可），能够反映数据之间的实际大小关系，移码表示 ( − 1 ) 10 = ( 01111111 ) 2 = 7 F H ， ( 8 ) 10 = ( 10001000 ) 2 = 88 H (-1)_{10}=(01111111)_2=7FH，(8)_{10}=(10001000)_2=88H (−1)10=(01111111)2=7FH，(8)10=(10001000)2=88H，88H > 7FH，这与预期结果相符合 1.2、阶码的偏置值 阶码部分用移码表示，假设阶码为 n 位，则规定阶码偏置值取 2 n − 1 − 1 2^{n-1}-1 2n−1−1，因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数阶码偏置值为 2 8 − 1 − 1 = 127 、 2 11 − 1 − 1 = 1023 、 2 15 − 1 − 1 = 16383 2^{8-1}-1=127、2^{11-1}-1=1023、2^{15-1}-1=16383 28−1−1=127、211−1−1=1023、215−1−1=16383。移码偏置值不是 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1吗，这里为什么取 2 n − 1 − 1 2^{n-1}-1 2n−1−1，因为阶码全1是用来表示特殊用途的数，1.3条有详细解释，不理解的话直接将这当作一个规定记住即可 1.3、阶码的取值范围 假设阶码为 n 位，则可表示的范围为 0 到 2 n − 1 0到2^{n}-1 0到2n−1，，因此短浮点数、长浮点数的阶码取值范围为 0到255、0到2047。又因为当阶码全0、阶码全1时有特殊用途，所以阶码E的实际取值范围为 1到254、1到2046、1到32766（去掉阶码全0和全1）。当阶码E为全0或全1时，要综合考虑尾数M的值，它们用来表示一些特殊的数： 0：当E全0，M为0时用来表示0值，至于是+0/-0，则取决于符号位是0还是1。subnormal：当E全0，M非0时，用来表示subnormal（中文译为非规则浮点数）。它表示那些比规格化浮点数能表示的最小量级的数还小的数，例如短浮点格式的一个数 1.11 ∗ 2 − 128 1.11*2^{-128} 1.11∗2−128，这已经超出了规格化形式能表示的范围，如果变成subnormal的话就是 0.0111 ∗ 2 − 126 0.0111*2^{-126} 0.0111∗2−126，前面说到，规格化浮点数的隐含位为1，而subnormals的隐含位可以看成0，这就是非规格化的含义所在。并且subnormals的尾数部分有若干前导0组成，因为它已经超出了规格化形式的范围，一个数越小，它的前导0越多，否则指数部分就不符合要求。无穷大：当E全1，M为0时表示无穷大，至于是 + ∞ / − ∞ +\infty/-\infty +∞/−∞，则取决于符号位是0还是1。NaN(Not a Number)：当E全1，M非0时，表示NaN。在IEEE浮点数格式中，NaN表示那些不是实数（real number）的值，例如 0 0 \frac{0}{0} 00。具体细分，有两类NaN，quiet NaNs（QNaNs）和signaling NaNs（SNaNs），QNaNs表示一个不确定的值，例如一个数除以无穷大或者无穷大乘0的结果；SNaNs则用于无效的操作，以表示浮点硬件异常。1.4、阶码的实际大小 阶码采用移码的形式表示，阶码的实际大小需要减去对应的偏置值，通过这种方式来表示阶码的正负值。所以短浮点数、长浮点数的阶码实际大小为 E − 偏置值 E-偏置值 E−偏置值，即 1 − 127 = − 126 到 254 − 127 = 127 、 1 − 1023 = − 1022 到 2046 − 1023 = 1023 1-127=-126到254-127=127、1-1023=-1022到2046-1023=1023 1−127=−126到254−127=127、1−1023=−1022到2046−1023=1023 2、关于尾数 假设尾数位数为 m 位，因为尾数部分隐含了一位整数1，所以尾数的实际位数为 m+1 位，因此短浮点数、长浮点数尾数实际有效位数为24、53，真值为 1. M 1.M 1.M，故： 短浮点数的真值为 ( − 1 ) m s ∗ ( 1. M ) ∗ 2 E − 127 (-1)^{m_s}*(1.M)*2^{E-127} (−1)ms∗(1.M)∗2E−127 长浮点数的真值为 ( − 1 ) m s ∗ ( 1. M ) ∗ 2 E − 1023 (-1)^{m_s}*(1.M)*2^{E-1023} (−1)ms∗(1.M)∗2E−1023 2.2 浮点数的取值范围以短浮点正数为例： 当阶码和尾数都取最小时（E为0000 0001，M为0），表示的数值最小，阶码部分为 1 − 127 = − 126 1-127=-126 1−127=−126，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0； 当阶码和尾数都取最大时（E为1111 11110，M全1），表示的数值最大，阶码部分为 254 − 127 = 127 254-127=127 254−127=127，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1； 所以取值范围为 1.0 × 2 − 126 1.0\times 2^{-126} 1.0×2−126到 24 个 1 1.11 … 1 ⏞ × 2 127 \begin{matrix} 24个1 \\ \overbrace{ 1.11\dots 1 } \times 2^{127}\end{matrix} 24个11.11…1 ×2127，即 格式正数负数单精度 2 − 126 到 ( 2 − 2 − 23 ) × 2 127 2^{-126}到(2-2^{-23})\times 2^{127} 2−126到(2−2−23)×2127 − 2 − 126 到 − ( 2 − 2 − 23 ) × 2 127 -2^{-126}到-(2-2^{-23})\times 2^{127} −2−126到−(2−2−23)×2127双精度 2 − 1022 到 ( 2 − 2 − 52 ) × 2 1023 2^{-1022}到(2-2^{-52})\times 2^{1023} 2−1022到(2−2−52)×21023 − 2 − 1022 到 − ( 2 − 2 − 52 ) × 2 1023 -2^{-1022}到-(2-2^{-52})\times 2^{1023} −2−1022到−(2−2−52)×21023
这里以C语言为例。C语言中的float、double型分别对应IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数，一个int型数据占4个字节、float占4字节、double占8字节。 1 溢出 当float、double向int转换时可能会发生溢出，比如有符号int型表示的数据范围为 2 − 31 到 2 31 − 1 2^{-31}到2^{31}-1 2−31到231−1，而float、double类型的数据的表示范围超过了int类型当double向float、int转换时可能会发生溢出、float向int转换时也可能会溢出2.精度损失 当int向float转换时可能会产生精度损失，因为int类型共四字节32位，而float尾数的有效位数为24位（包括隐含的1），当int型数据的有效位数超过24的话就会发生精度损失。比如 u n s i g n e d i n t m = F F F F F F F F H 即（ 2 − 2 − 31 ) × 2 31 unsigned \quad int\quad m = FFFF \quad FFFFH\\ 即（2-2^{-31})\times 2^{31} unsignedintm=FFFFFFFFH即（2−2−31)×231 因为 m 的二进制表示为32位1，超过了float的24位，超出的1会被舍掉，所以就会产生精度损失。当double向float、int转换时可能会有精度损失，因为double类型尾数的有效位数位53，超过了float的24；而且浮点数向整数转换时，若是小数部分不为0，一定会有精度损失，因为整数没有小数部分 例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数例：现有一个十进制小数43.875，请将其转换成IEEE 754类型的短浮点数（即float类型），并将最终结果用二进制或十六进制表示。 分析： IEEE 754标准的短浮点数要符合如下几个标准 阶码用移码表示，占8位。其值为阶码真值加偏置值127尾数用原码表示，占23位。另有一位隐含的整数1最高位为数符，占1位。0表示正数、1表示负数解答： 第一步 将十进制小数转换成二进制表示 一定要转换成 1.M 的形式，其中 M 为尾数， ( 43.875 ) 10 = ( 101011.111 ) 2 = ( 1.01011111 ) × 2 5 (43.875)_{10}=(101011.111)_{2}=(1.01011111)\times 2^5 (43.875)10=(101011.111)2=(1.01011111)×25 第二步 求出数符、阶码、尾数的二进制表示 由题意知：数符 m s = 0 m_s=0 ms=0 由第一步知：阶码 E = 5 = ( 101 ) 2 E=5=(101)_{2} E=5=(101)2，尾数 M = ( 01011111 ) 2 M=(01011111)_2 M=(01011111)2 因此： 1位数符为 08位阶码为（移码表示） 5 + 127 = 132 = ( 1000 0100 ) 2 5+127=132=(1000\quad 0100)_2 5+127=132=(10000100)223位尾数为（原码表示） ( 010 1111 1000 0000 0000 0000 ) 2 (010\quad 1111\quad 1000\quad 0000\quad 0000\quad 0000)_2 (01011111000000000000000)2第三步 整理结果 数符阶码尾数01000 0100010 1111 1000 0000 0000 0000即 43.875 = 0100 0010 0010 1111 1000 0000 0000 0000 = 422 F 8000 H 43.875=0100\quad 0010\quad 0010\quad 1111\quad 1000\quad 0000\quad 0000\quad 0000=422F\quad 8000H 43.875=01000010001011111000000000000000=422F8000H public class Main { public static void main(String[] args) { float f = 43.875f; // 输出浮点数的 二进制表示 System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f))); // 输出浮点数的 十六进制表示♑ System.out.println(Integer.toHexString(Float.floatToIntBits(f))); } }
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