目录

逻辑代数

逻辑变量与逻辑常量

基本逻辑运算

与

或

非

常用组合逻辑运算

与非：

或非：

与或非：

 异或：

同或：

逻辑代数基本定理

1.代入定理

2.反演定理

3.对偶定理

逻辑运算公式

逻辑函数的化简

最小项

 公式化简法

卡诺图化简法

无关项：

布尔代数也称为逻辑代数。但是数字电路中信号分析运算只涉及到布尔代数的一部分。也就是说，布尔代数是进行电路分析运算的数学工具。所谓逻辑，就是事物的因果关系。逻辑函数简单理解就是从原因到结果的一个映射。

逻辑变量是逻辑代数中使用字母表示的变量。比如普通代数中函数 y = kx + b，就是使用字母来表示变量的。函数式表达了一个变量y与变量k、x、b之间的关系。逻辑函数 y = kx + b 同样表示的是这些变量之间的关系。

不同之处在于，逻辑变量只有0和1两种取值。也就是说，逻辑代数中出现的常量只有0和1。我们称0和1是逻辑常量。比如上面的函数式，如果k是一个常量，那么在普通代数中，它可以取任意的值，但是在逻辑代数中它只能取01。

所有同时具备，结果发生。记作Y = A AND B = A & B = A·B = AB

逻辑门画法：（手绘轻喷） 

真值表：

0

条件之一具备，结果发生。记作 Y = A OR B = A + B

逻辑门画法：

真值表：

0

条件不具备，结果发生。记作Y = NOT A = Ā = A'

逻辑门画法：

 值得一提的是，不管三角形还是方框，都只是为了形式上更好看。后面的圈才是非门的主体。这个圈加在什么地方，就相当于在这里加一个非门。（在后面符合逻辑中会有例子）

真值表：

就是对与的结果取非。画电路图时，非门可以缩成一个圈附在与门后面，表示一个整体，是与非门

（鉴于教科书采用的这一套有特殊形状的表示符，因此后面只展示这一种画法了）

就是对或的结果取非。

先取与，再对结果取或，再取非。

现在一定要熟悉这样一种结构。每一次运算都要通过门电路来实现，不能仅凭电路知识想当然。在未来会遭遇“线与”，如果处理不当是会出问题的（烧板子）。

首先从名字上来理解这个运算：对相异的取或。它的表达式也确实是这样：Y = A'B + AB'

直观的看就是当两个变量的输入不同时输出为1。也就是相异时出1。

同样从名字上理解就是对相同的取或。Y = AB + A'B'

由后面将要讲到的摩根定理可以知道，同或=异或取非（在后面会有证明过程）

直观理解就是画框定理。对式子中任何一个变量画框，然后在框里面装上一切你想要装的东西。这里可以联想一下C语言编程的宏。我们把A定义成一个宏，虽然运算的时候写Y=A+B，但是A里面装什么内容其实是可以替换的。这里要注意代入定理的适用范围：逻辑等式

加乘互换，0 1 互换，原反互换

也就是或运算和与运算互换，常量的0 和1 互换，所有逻辑变量全部取反。

使用反演定理可以方便的求出一个逻辑函数的反函数：

Y = A(B + C) + CD

Y1=(A+BC)(C+D) ……加乘、01互换

Y2=(A'+B'C')(C'+D') ……所有变量全部取反

Y'=A'C'+A'D'+B'C'+B'C'D'=A'C'+A'D'+B'C'

注意：

使用反演定理时：

加乘互换， 0 1 互换（其实是摩根定理和代入定理的组合形态）熟练使用对偶定理就可以少背一半公式

比如：

A(B+C)=AB+AC

A+(BC)=(A+B)(A+C) ……加乘、01互换

Y的对偶式用来表示

注意：

使用对偶定理时：

当然这里只介绍这些常用的啦

A+A'=1

逻辑函数可以表达为多种形式，两种标准形式是最小项之和 以及 最大项之积。后面一种不常用，所以这里只介绍最小项之和。「最小项之和也称作标准与或表达式」

标准表达：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都已原变量或反变量的形式在m中出现且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称最小项。

直观理解：是一个“与”式，所有元素必须出来露面，还只能露面一次。

性质：

这里解释一下第一条：最小项是一个与式，也就是说所有条件都满足，这个式子才能为1。所有条件都满足，也就是最小项里面每个元素都有固定的取值，又因为最小项包含所有变量，因此也就对应了一组唯一的变量取值。举个例子：A'BC'D'，如果是最小项，那么它仅仅当A=0;B=1;C=0;D=0时才能取1，任何一个数改变，它就取0了。

由第一条可以很方便的推出下面的内容。

除了手工多变量化简必须这样做以外，用途不大。简单介绍一下

基本思想：

用几何方法解决代数问题 ！大家应该还记得格雷码这个东东。把逻辑相邻转化为几何相邻。卡诺图也是一样的。

首先回忆一下最小项这个说法。n变量的逻辑函数，最小项中每个变量出来露一次脸，每个变量有两种取值，那总共有2^n个最小项的可能。这些可能中，出现在最终的与式中，能够左右局势的写1，没有出现的写0。就画出了卡诺图。

无关项分为约束项和任意项。

约束项是指由于物理限制而不可能出现的取值。比如汽车的状态，只可能是前进、后退、停止的一种，不可能既前进又后退还停止。

任意项是指由于人为原因故意忽略的取值。比如从90-99分都是A等，那么个位数的值我们就可以忽略了。

因为无关项的存在不会影响输出，所以可以自由决定它们取0还是取1，用来帮助我们化简。卡诺图化简法和带有无关项式子的化简在这里就一并解释了。

eg：Y=A'CD'+A'BC'D'+AB'C'D'；约束条件：AB'CD'+AB'CD+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD=0

首先把卡诺图画出来：

然后把无关项补进去，卡诺图里面使用×来表示无关项：

 根据最小项的性质，相邻最小项可以合并，而卡诺图里面几何位置相邻就表示最小项相邻。所以应该找尽可能多的相邻1和×，用圈圈起来，进行化简：

 接下来可以根据圈来化简了：

蓝色：CD'

绿色：BD'

黄色：AD'

所以Y=AD'+BD'+CD'