薄透镜焦距的测定  

光学是物理学中最早发展起来的学科之一，具有悠久的历史和广泛的应用领域。在种类繁多的光学仪器中，透镜是最常用的光学元件，而焦距是透镜的一个主要参数，它决定透镜的成像位置和性质（大小、虚实、倒正等）。本实验通过测量薄透镜的焦距，掌握几何光学的基本测量方法和光路的调整技术。  

【实验目的】  

1、熟悉光具座及其附件的使用。  

2、掌握用自准直法、直接法和位移法测量薄透镜焦距的方法。  

3、掌握光学系统等高共轴的调节方法。  

【实验仪器】  

导轨（光具座）、滑座、带有毛玻璃的白炽灯光源S、物屏P、凸透镜L（f = 190 mm/150 mm)、二维调整架、平面反射镜M、白屏H、1/10 mm分划板F、被测目镜LE(fE= 14 mm)、可变口径二维架、测微目镜L(去掉其物镜头的读数显微镜)、读数显微镜架。    

【实验原理】  

1. 自准直法测薄透镜焦距  

图5.13-1  自准直法测透镜焦距光路图  

如图5.13-1所示，当发光点处在凸透镜的焦平面时，它发出的每条光线通过透镜后将成为平行光。若用与主光轴垂直的平面镜将其反射，则反射光也是平行光，再次通过透镜后仍会聚于透镜的焦平面上，其会聚点将在发光点相对于光轴的对称位置上。这样，当有品字图案透光孔的物屏位于焦平面时，成的像将与原图案互补，如图5.13-2所示，形成清晰的正六边形。此时，物屏P与透镜间的距离即为透镜焦距f。这种方法是利用调节实验装置本身使之产生平行光以达到测量焦距的目的，所以称为自准直法。  

图5.13-2  自准直法物屏上物和像的互补图案  

2. 位移法测薄凸透镜焦距  

位移法也叫共轭法或两次成像法，对凸透镜而言，当物和像屏间的距离l大于4倍焦距时，保持l不变，透镜沿光轴由物向像屏的方向移动，则在像屏上会出现两次清晰的像，一个为放大的像P′，一个为缩小的像P′′，光路如图5.13-3所示。  

（1）各距离之间的几何关系  

分别记下两次成像时物距s1、s2，像距s1′、s2′，由光线的可逆性原理可知，这两个位置是共轭的。即  

，，  

令  

，  

则  

                                      （5.13-1）  

另外  

                          （5.13-2）   

（2）透镜成像的高斯公式  

在图5.13-3中，以透镜成放大像的光路图为例（即实线部分），设物和像的高度分别为y和y′，在光轴上的位置分别为OP和OH，则三角形POPO和P′OHO互为相似三角形。于是有  

                                             （5.13-3）  

又由于三角形P1OF和P′OHF也互为相似三角形，则有  

                                         （5.13-4）  

将（5.13-3）、（5.13-4）两式联立，得  

 ，  ，    

于是可得透镜成像的高斯公式，即  

                                         （5.13-5）  

（3）透镜焦距的计算  

将（5.13-1）、（5.13-2）两式代入（5.13-5）式，有  

将上式化简整理，可得透镜的焦距  

                                      （5.13-6）  

由此便可算得透镜的焦距。位移法的优点：把焦距的测量归结为对于可以精确测定的量l和e的测量，只要测量中各个元件及其方向保持不变，完全可以消除由于透镜光心偏离滑座位置指针而产生的影响。  

3. 目镜焦距fE的测量  

高斯公式(5.13-5)中，物距和像距是从透镜的光心算起的，若都从焦点F和F′算起，令  

  ，    

式中，x表示从F算起的物距，x′表示F′算起的像距。图5.13-3中三角形POPO和P′OHO为相似三角形，可知  

，  

利用光的可逆性，同理可得  

将以上两式联立，可得薄透镜成像的牛顿公式  

这样，测量焦点到光学系统的某一指定点的距离就可以算出透镜的焦距。  

由透镜的线放大率公式  

，  

测量时若改变被测目镜和测微目镜的位置测出两次成像的放大率和物距  

两式相减，得  

设两次成像时测微目镜的位置分别为a1和a2,待测目镜的位置分别为b1和b2，且令像距改变量  

          (5.13-7)  

则被测目镜焦距：  

                                      (5.13-8)  

像的放大率为：mx=像宽/实宽。  

【实验内容与步骤】  

1. 光学系统等高共轴的调节    

为了计数准确并且避免不必要的像差，光学实验中需要对光学系统进行等高共轴调节，使各光学元件光轴重合且与光具座的导轨严格平行，物、屏中心处于光轴上，物平面、像平面垂直于光轴。此外，照明光束也应尽量沿光轴方向。本实验所有操作内容都需要进行上述调节步骤，在此概述如下：  

粗调：将光源、物、透镜（组）、像屏或测微目镜等元件，安装在光具座上，并使它们尽量靠拢，目视调节各元件的高低、左右位置和方向，使各元件的中心大致在与导轨平等的同一直线上，并使物平面、像平面和透镜面三者相互平行且垂直于导轨。  

细调：点亮光源，通过成像观察并调节各元件位置和方向，最终达到共轴。  

2. 自准直法测薄透镜焦距    

（1）按图5.13-4选择所需元件，并将元件靠近光源调成等高共轴；  

（2）按图5.13-4所示放置元件，反射镜M与物屏P距离大于f；记录物屏P的位置a1；  

（3）沿导轨调整L位置并适当横向微移，并调节M的倾角，使屏上成清晰像，物、像互补成正六边形（如图中所示）；  

（4）记录透镜L位置b1，数据记入表5.13-1中；  

（5）由于滑座指针位置与L或P的光心位置可能不一致，所以采旋转透镜两次平均的方法测出透镜的光心位置。保持透镜L不动，把屏P转180度，微调其位置使成像与步骤（3）相同，记录屏P的新位置a2，数据记入表5.13-1。  

（6）将透镜L连调整架绕滑座立柱旋转180度，重复步骤（3），记录透镜L位置b2，数据记入表5.13-1。  

（7）更换不同焦距透镜，重复（2）~（5）步，再次记录数据。  

图5.13-4 自准法测透镜焦距光路布置图  

3. 位移法测薄凸透镜焦距    

（1）按图5.13-5选择所需元件，将元件靠近光源调成等高共轴。  

（2）按图5.13-5所示放置元件，注意 l > 4f ，分别记录物屏和像屏位置lP和lE。  

（3）沿导轨调整透镜L位置，使像屏H上成倒立、放大的清晰实像，记录透镜L位置a1，将该数据记入表5.13-2。  

（4）沿导轨调整透镜L位置，使像屏H上成倒立、缩小的清晰实像，记录透镜L位置b1，将该数据记入表5.13-2。  

（5）将品字物屏旋转180度，并调整物屏P位置，保证成像不变，再将像屏H旋转180度, 并调整像屏位置，保证成像不变，记录物和屏的位置lP′和lE′，数据记入表5.13-2。此步骤是为了保证l不变。  

（6）将透镜L转180度，重复第（3）和（4）步，并将a2，b2数据记入表5.13-2。  

（7）更换不同焦距透镜，重复（1）~（6）步，再次记录数据。  

（8）计算l =|lP- lE+ lP′-lE′|/2，e=|a1- b1+ a2 -b2|/2，及各透镜焦距，将数据记入表5.13-2。  

图5.13-5  位移法测透镜焦距光路布置图  

4. 目镜焦距fE的测量    

图5.13-6  目镜焦距测量光路图  

（1）将全部器件按图5.13-6所示顺序摆放于导轨上，靠拢后目测调至共轴。  

（2）在F、LE、L的底座距离很小的情况下，前后移动LE，直至在测微目镜L中看到清晰的1/10 mm的刻线，并使之与测微目镜中的标尺（mm刻线）无视差。  

（3）测出1/10 mm刻线的宽度，求出其放大倍率m1，并分别记下L和LE的位置a1、b1。  

（4）将测微目镜L向后移动30—40 mm，再慢慢向前移动LE，直至在测微目镜L中又看到清晰且与毫米标尺刻线无视差的1/10 mm刻线的像。  

（5）再测出像宽，求出m2，记下L和LE的位置a2、b2，计算目镜焦距fE。  

【注意事项】  

1、各透镜的光心或屏幕平面与滑块刻度线之间可能有一定水平距离，在测定位置和计算距离时要根据说明书或具体实验条件进行必要的修正。

2、光学元件要轻拿轻放，不要触摸表面，不要擦拭，用后整齐归位。  

【数据处理】  

表5.13-1  用自准直法测薄凸透镜焦距             (单位：mm)  

透镜      

a1      

b1      

a2      

b2      

L1（f =190）      

L2（f =150）      

表5.13-2  用位移法测薄凸透镜焦距                (单位：mm)  

透镜      

lP      

lE      

lP′      

lE′      

a1      

a2      

b1      

b2      

l      

e        

L1      

L2      

表5.13-3  目镜焦距的测量                 （长度单位：mm）  

位置      

ax        

bx        

像宽      

实宽      

mx      

S        

1      

2      

【思考题】  

1、 光路的共轴调节要注意哪些？  

2、 在日常生活中如何测凸透镜的焦距？  

3、 自准直法中平面镜离透镜远近对测量是否有影响？  

4、 位移法获得二次成像的条件是什么？这种方法有何优点？  

5、 滑座指针在光具坐标尺指示的位置有时并不是光学元件中心的位置，如何进行修正以消除偏差？