定义：若对域 Ω \Omega Ω 中所有的非零向量 x \boldsymbol{x} x，恒有 V ( x ) > 0 V(\boldsymbol{x})>0 V(x)>0，且在 x = 0 \boldsymbol{x}=0 x=0 处有 V ( 0 ) = 0 V(0)=0 V(0)=0，则称标量函数 V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 在域 Ω \Omega Ω 内是正定的， V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 是正定的简记为 V ( x ) > 0 V(\boldsymbol{x})>0 V(x)>0。

例如， V ( x ) = x 1 2 + x 2 2 V(\boldsymbol{x})=x_1^2+x_2^2 V(x)=x12​+x22​ 在二维空间中是正定。

定义：若 V ( 0 ) = 0 V(0)=0 V(0)=0，面对域 Ω \Omega Ω 中所有的非零向量 x \boldsymbol{x} x，恒有 V ( x ) ≥ 0 V(\boldsymbol{x})\ge0 V(x)≥0，则称标量函数 V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 在域 Ω \Omega Ω 内是半正定的。 V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 是半正定的简记为 V ( x ) ≥ 0 V(\boldsymbol{x})\ge0 V(x)≥0。

例如， V ( x ) = ( x 1 + x 2 ) 2 V(\boldsymbol{x})=(x_1+x_2)^2 V(x)=(x1​+x2​)2 和 V ( x ) = x 1 2 V(\boldsymbol{x})=x_1^2 V(x)=x12​ 在二维状态空间中都是半正定。前者在直线在直线 x 1 + x 2 = 0 x_1+x_2=0 x1​+x2​=0 上为零，后者在直线 x 1 = 0 x_1=0 x1​=0 上为零。

若 − V ( x ) -V(\boldsymbol{x}) −V(x) 是正定的，则 V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 是负定的。

若 − V ( x ) -V(\boldsymbol{x}) −V(x) 是半正定的，则 V ( x ) V(\boldsymbol{x}) V(x) 是半负定的。