导数法则 |
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导数法则
导数 是在函数上任何一点的坡度。 有很多法则可以帮助我们去求导数。 例子: 常数 (像 3)的坡度永远是 0 直线 (像 2x 是 2,3x 是 3,以此类推) 等等。以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号 ’ 的意思是 "的导数"。. 常见函数 函数 导数 常数 c 0 直线 x 1 ax a 平方 x2 2x 平方根 √x (½)x-½ 指数 ex ex ax ln(a) ax 对数 ln(x) 1/x loga(x) 1 / (x ln(a)) 三角 (x 的单位是 弧度) sin(x) cos(x) cos(x) −sin(x) tan(x) sec2(x) 反三角 sin-1(x) 1/√(1−x2) cos-1(x) −1/√(1−x2) tan-1(x) 1/(1+x2) 法则 函数 导数 乘以常数 cf cf’ 幂次方法则 xn nxn−1 加法法则 f + g f’ + g’ 减法法则 f - g f’ − g’ 积法则 fg f g’ + f’ g 商法则 f/g (f’ g − g’ f )/g2 倒数法则 1/f −f’/f2 链式法则 (为 "复合函数") f º g (f’ º g) × g’ 链式法则 (用 ’ ) f(g(x)) f’(g(x))g’(x) 链式法则 (用 d dx ) dy dx = dy du du dx"的导数" 也可以写成 d dx 所以 d dx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同 举例 例子:sin(x) 的导数是什么?从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x) 可以写为: sin(x) = cos(x) 或: sin(x)’ = cos(x) 幂次方法则 例子:x3 是什么?问题是 "x3 的导数是什么?" 我们可以用幂次方法则,以 n=3: xn = nxn−1 x3 = 3x3−1 = 3x2 例子:(1/x) 是什么?1/x 等于 x-1 我们可以用幂次方法则,以 n = −1: xn = nxn−1 x−1 = −1x−1−1 = −x−2 乘以常数 例子:5x3 是什么?cf 的导数 = cf’ 5f 的导数 = 5f’ 幂次方法则: x3 = 3x3−1 = 3x2 所以: 5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2 加法法则 例子:x2+x3 的导数是什么?加法法则说: f + g 的导数 = f’ + g’ 所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。 幂次方法则: x2 = 2x x3 = 3x2所以: x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2 减法法则变量不一定是 x,我们可以相对于 v 来求导数: 例子:(v3−v4) 的导数是什么?减法法则说: f − g 的导数 = f’ − g’ 所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。 幂次方法则: v3 = 3v2 v4 = 4v3所以: v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3 加法、减法、乘以常数和幂次方法则 例子:(5z2 + z3 − 7z4) 的导数是什么?幂次方法则: z2 = 2z z3 = 3z2 z4 = 4z3所以: (5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3 积法则 例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么? 积法则说: fg 的导数是 = f g’ + f’ g 在这个例子里: f = cos g = sin根据上面的列表: cos(x) = −sin(x) sin(x) = cos(x)所以: cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x) = cos2(x) − sin2(x) 倒数法则 例子:(1/x) 的导数是什么?倒数法则说: 1/f 的导数 = −f’/f2 若 f(x)= x,f’(x) = 1 所以: 1/x 的导数是 = −1/x2 结果和在上面用幂次方法则求的一样。 链式法则 例子: d dx sin(x2) 的导数是什么?sin(x2) 是由 sin() 和 x2 结合而成: f(g) = sin(g) g(x) = x2链式法则说: f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x) 导数分别是: f'(g) = cos(g) g'(x) = 2x所以: d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x) = 2x cos(x2) 链式法则也可以写成: dy dx = dy du du dx 让我们用这个公式来再做一遍上面的例子: 例子: d dx sin(x2) 的导数是什么?dy dx = dy du du dx 设 u = x2,所以 y = sin(u): d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2 分别微分: d dx sin(x2) = cos(u) (2x) 代入 u = x2 和简化: d dx sin(x2) = 2x cos(x2) 结果和上面一样! 再来看看一些链式法则的例子: 例子:(1/cos(x)) 的导数是什么?1/cos(x) 是由 1/g 和 cos() 结合而成: f(g) = 1/g g(x) = cos(x)链式法则说: f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x) 导数分别是: f'(g) = −1/(g2) g'(x) = −sin(x)所以: (1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x) = sin(x)/cos2(x) 注意:sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。 例子:(5x−2)3 的导数是什么? 链式法则说: f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x) (5x-2)3 是由 g3 和 5x-2 结合而成: f(g) = g3 g(x) = 5x−2导数分别是: f'(g) = 3g2 (用幂次方法则) g'(x) = 5所以: (5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2 导数 微积分索引 |
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