面对我国数学文化研究的如此繁荣景象，我们有必要审视数学文化整体与细节的关系、各个细节之间的关系、研究理想与实践现实之间的关系等是否适当等重要课题．同时也考察最基本概念数学文化的界定如何、数学文化结构的认识如何、数学文化的特征如何等根本性问题以及数学文化和数学史的关系如何、学校数学教学中融入数学文化的可能性和策略等问题．为此笔者从文化研究的发展经纬、数学文化研究进展出发对数学文化作尝试性探讨．

2 数学文化及其形态

关于数学是文化的观点，我国学者很早也有所论及．例如，马遵廷1933年撰文讨论《数学与文化》，认为数学是一种文化，他提出“文化和数学是互为函数的”观点[6]．著名数学家陈建功1952年就提出：“数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形态，自然具有历史性．”[7]又如，著名哲学家殷海光早在上世纪60年代就认为欧几里得几何学、纯粹数学都是文化[1]．再如，李大潜院士2005年提出：“数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础．它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位．”[8]既然数学是一种文化，那么数学文化究竟是什么？

关于数学文化的论著很多，但是揭示数学文化内涵的论著寥寥无几，不少研究者都引用顾沛先生所给的定义，即：“‘数学文化’一词的内涵，简单说，是指数学思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等．”[9]该定义从内涵和外延两个方面说明了数学文化，固然有它的合理性，但是作为一种定义显得有些繁琐．我们参考一般文化的各种定义和数学学科以及数学与人类其他文化关系，为数学文化给出如下定义：数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动的应用以及与数学有关的民俗习惯和信仰的总和．在数学文化的发展过程中科学精神、价值取向、审美意识、民族文化心理等起到促进作用．我们可以说纯粹数学、数学史、数学故事、几何图案、某些特殊意义的数字都是数学文化，但反之不然，如不能说数学文化是纯粹数学或数学文化是数学史，等等．

依照上述定义，可以将数学文化形态分为纯粹数学形态、学校数学形态、应用数学形态、民族数学形态四种，这样能够更清晰地了解数学文化．这四种形态之间并不是截然分开的，它们之间也存在不同程度的联系或交叉．

2.1 纯粹数学形态

纯粹数学形态是对纯粹数学的研究成果，如欧几里得《几何原本》、康托尔的集合论、希尔伯特的《几何基础》等．

2.2 学校数学形态

学校数学形态是指中小学数学教科书中的数学内容，它与纯粹数学的学术形态不同，虽然有一定的系统性和逻辑的严谨性，但几乎都是简化加工的内容．例如，中学虽然学习实数，但却没有严格的实数理论．

2.3 应用数学形态

应用数学形态是数学在人类活动中的应用形态．例如数学在工程、军事、社会学、经济学、自然科学和艺术中的应用等．

2.4 民族数学形态

关于民族数学学者们早已有界说：在数学活动中，按明确规定的教学目标或意向来操作社会文化群落中的工具与其说只是一种特定的实践，倒不如说是可认识的思维模式的结果．这种思维模式和系统实践的综合已经被称为有关文化群落的“民族数学”．儿童们刚来学校时所具有的数学知识中就包含了这种民族数学的因素．[10]我们这里所说民族数学范围比上述界说的民族数学更广一些．它包括具有民族文化特征的几何图形、数字、数字崇拜等．这就是数学文化的民族数学形态．民族数学形态也可以分为以下几个方面．

2.4.1 神数术

各民族或各个文化的发展中都出现过“神秘数论”，或者说数字崇拜现象．法国学者列维－布留尔（Levy-Bruhl,Lucien，1857－1939）进行人类学考察后得出结论：数在集体表象中又与某种神秘的属性相联系．数在集体表象中的神秘性质在不同原始民族有其不同的表现．有的原始民族“1”表示善、秩序、完美、幸福的本原；“2”表示恶、混乱、缺陷的本原[11]．又如，毕达哥拉斯学派“神数论”观点认为[12]，在一切数中，“1”是最基本的，它是一切数学的开始，计量一切数的单位，万物的第一原则．毕达哥拉斯学派又认为：“宇宙是对立的，只有“1”还不能解释它，还必需有和它对立的“2”．因此，“1”和“2”在一系列方面都是对立的．“2”是恶、黑暗的源泉，是一切偶数，是无限的源泉．“1”是雄性和形式，“2”是雌性和质料；“1”是诸神之父宙斯，“2”就是诸神之母瑞亚．相对于“1”讲，“2”这个数就处于次要的地位．”[12]毕达哥拉斯学派对从1到10的数赋予各种意义，有些是具有数学的意义，有些数同时也具有神秘意义．

数的神秘性并不是西方古代独有，中国传统数学文化中也蕴含着极其丰富而深刻的数字崇拜的神秘数论的内容．俗称将“数叫做国人的第二种语言”[13]．如，1表示开始、全；2表示阴阳、矛盾；3表示多和天、地、人．《老子》第四十二章所言：“道生一，一生二，二生三，三生万物．”这里更蕴含了一二三等深不可测的含义．又如，“两仪四象”、《尚书·洪范》中说“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土．”《周易》中的“从八卦到六十四卦”．“天数九”等都蕴含着原始的宇宙观和哲学观．

数字崇拜不仅在古代原始民族或古代文化中具有重要的地位，而且在现代社会中不同民族也保存着不少数字崇拜的文化现象．例如，多数中国人选择车牌号和电话号码时都要考虑吉祥的数字，举办婚礼、大型建筑开工和服务业开业典礼时都要考虑吉日，即必须考虑吉利的数字．中国少数民族中，如蒙古族和藏族等民族格外崇拜奇数，关注七七、九九，这种现象在祭祀活动、宗教仪式、医生开药方、日常接待礼仪等活动中都普遍存在．

由上述可见，数除了表示事物数量外，还具有某种神秘的性质．数的这种神秘性在不同民族有其不同的表现形式，尽管如此，但都是被用来表示或解释某些事物、事件的．这从一个侧面反映原始人试图用数来解释自然现象，体现一种原始的神数自然观．[14]有时现代人也用数来表示一些自然现象和社会现象．

2.4.2 民族图案

民族图案是数学文化中的一块瑰宝．每一个民族成员不仅能自然地辨别自己所属民族的几何图案、符号，而且也能直觉地认知其他民族的几何图案和符号．这里不需要逻辑证明，只能心领神会，不可言传．如果让他说出理由时往往含糊其辞，说不清是怎么回事．

数学文化的民族数学形态中包括了与数学有关的民俗内容．

3 数学文化的特征

数学文化特征是数学文化的最小限度的有意义的单位．这样的单位在时间和空间中可以当作一个单位来进行观察．一个数学符号、一个几何图形或图案、一个数学表达式、一个数学问题的解决方法等都是数学文化的特征．

数学文化有如下特征：规范特征；审美特征；认知特征；历史特征；价值特征．

3.1 规范特征

数学文化系统中，对数学文化成员的思想、行为，甚至情感，应当做什么如何做、或不应该做什么，好与不好等都有规范性要求．从纯粹数学形态看，数学是一门抽象而严谨的学科，要求论证言必有据，不能模棱两可，表述精炼准确．这些特点决定了数学文化的规范性．我们说，数学是世界通用语言，正如第尔曼（Dillmann,C.）所说：“数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．实际上，数学是语言的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演．”[15]从民族数学形态之民俗习惯看，数学文化也有世代相传的规范要求．

3.2 审美特征

数学是美的．数学美是在人类社会实践活动中形成的人与客观世界之间，以数量关系和空间形式反映出来的一种特殊的表现形式．这种形式是以客观世界的数、形与意向的融合为本质，以审美心理结构和信息作用为基础的．正如著名哲学家和数学家罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也有至高的美．正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地．一种真实的喜悦的精神，一种精神上的发扬，一种觉得高于人的意识（这些是至善的标准）能够在诗里得到，也确能在数学里得到．”[16]无论是数学文化的何种形态，都具有审美特征，表现出不同程度的审美意识．数学文化的审美特征因审美者历史条件、文化环境不同而不同．众所周知，数学是崇尚科学精神的，但有些数学文化并不一定符合科学精神，如古代神秘数论或当今的民俗习惯中一些数学文化都不需要数学的科学性和日常生活中的常识性．

3.3 认知特征

数学文化的认知特征是数学文化的文化成员对他们所在与数学有关的环境、数学文化的历史传统、以及数学文化事件中人和事的认知的总和，认知特征的典型成就是认知者的习得结果，也与每一个体的体验密切相关．简言之，“从认识‘什么是数学’开始，了解周围的数学世界，体验信息时代的数学文化氛围．”[17]我们在学校教育和纯粹数学研究中要求数学文化认知的科学性，但在民俗习惯中的数学文化的认知不一定追求其科学性，甚至有些民俗习惯已经成为一种精神传统，无法改变．

3.4 历史特征

如数学是一个历史概念一般，数学文化也是一种历史概念．在古希腊时期，数学包括几何学、算术、天文学和音乐，统称为“四艺”．后来天文学和音乐从数学中独立出来了，独立成为一种文化形态．欧几里得《几何原本》直至1862年Todhunter所著“The Elements of Euclid for the Use of Schools and Colleges”改写为教科书，都扮演着数学文化的教科书形态，而后《几何原本》的纯粹数学形态显得更突出．从数学符号发展史看，中国古代的数学符号、罗马数字等在今日数学中几乎不适用了，被现代数学符号所代替．从数学神秘论的角度看，数学文化的影响在古代更大一些，而现代文明中虽然存在但其影响却远不如古代了．函数是20世纪以前大学内容或者说是纯粹数学形态的数学文化，从20世纪初“贝利—克莱因运动”之后成为中学数学内容，即成为学校数学形态．总之，数学史充分体现了数学文化的历史特征．

3.5 价值特征

数学文化的价值特征就是数学文化的文化成员因生存或求知等需要而学习数学文化或应用数学文化的工具性特征．如，中国从清末开始逐渐摆脱其传统数学而完全转向学习西方数学，这与其当时的“科学救国”之需要有关．又如，我国当下在学校数学教育中设置数学文化课程或在课堂教学中融入数学文化也有执着的价值追求．值得注意的是，数学文化研究者的价值追求的理想与在中小学数学教学中融入数学文化的实践之间存在着矛盾．在数学教学中融入数学文化时要充分考虑享受数学文化者群体的每一个体的学习基础、兴趣爱好等因素，不能把个体的集合看做一个个体．我们从文化的有关界说中容易认识这一点．如卡富尔（Carver，1935）认为“文化乃人类充分发挥较高能力时剩余的精力的散发．”[1]这就说人能够满足基本的某种需要后才能有能力去享受与之有关的其他东西，包括物质和精神两个方面．如高尔夫球和赛车等体育活动、艺术创造和欣赏等艺术活动都是人们有了相当经济条件、闲暇时间和自由才能够享受的活动．学生学习数学也是如此，掌握了最基本的数学知识并学有余力才能更好地去欣赏数学文化———数学趣题、与数学史有关知识、趣闻轶事等．对还没有掌握最基本的数学知识的学生进行过多的数学史、数学文化教育反而会分散学生的精力，对提高数学学习效率带来负面影响．

上述五个特征并不是截然分离的，它们之间有着千丝万缕的联系，互相之间产生不同影响．

本文在宏观上论述了何谓数学文化及其四种形态和五个特征，至于微观研究和案例分析另撰文阐述．

参考文献

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2 吴修艺．中国文化热[M]．上海：上海人民出版社，1988

3 [日]中村俊龟智．文化人类学史[M]．何大勇，译．北京：中国社会科学出版社，2009

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5 邵汉明．中国文化研究二十年[M]．北京：人民出版社，2003

6 马遵廷．数学与文化[J]．大陆杂志，1933，2（3）

7 陈建功．二十世纪的数学教育[J]．中国数学杂志，1952，1（2）

8 李大潜．将数学建模思想融入数学类主干课程[C]．大学数学课程报告论坛2005论文集．北京：高等教育出版社，2006

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11 [法]列维－布留尔．原始思维[M]．丁由，译．北京：商务印书馆，1981

12 汪子嵩，范明生等．希腊哲学史1[M]．北京：人民出版社，1997

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本文转自《数学通报》2013年第52卷第4期，感谢杂志社授权转载。

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