你知道计算机内部是如何进行加减运算的吗？可能你知道，那你知道计算机内部是如何进行乘除法运算的呢？肯定和我们十进制运算是不一样的。当我查找资料的时候，发现除了书本很少有这样的知识点。所以我想和大家一起分享定点数和浮点数加减乘除运算的方法，一起在二进制的世界里面遨游吧~

     温馨小贴士，以下内容仅仅包含计算方法（手算和计算机内部表达部分均有），不含运算器数电知识哦。文章以下方思维导图来展开：

     在开始之前，我们要知道定点数移位运算的知识点，在我们日常生活中总是有移位的例子。例如1500cm转换成15m，这就是一个移位，在计算机内部，也是有移位的，但是计算机的位数是不变的，所以我们在进行移位操作的时候就要将空缺高位或者低位的数字用0或1补齐，而我们接下来介绍的运算也和移位是分不开的，所以这里就列出定点数的移位运算，至于为什么没有给出浮点数的移位运算，那是因为浮点数的移位运算是和阶码相挂钩的（并且伴随精度丢失），至于尾数部分和定点数的规则一致。

左移添0；

右移添1

     另外有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位。逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位添0；逻辑右移时，低位移出，高位添0。

1、有符号数的加法运算：

     补码加法运算的特点就是符号位要一起作为数的一部分参与运算，其次要在模2^(n+1)的意义下相加，超过2^(n+1)的进位要丢掉，也就是说符号位的进位要丢掉。例如：

     而对于单符号位的数和双符号位的数来说，加法法则依旧是一致的（符号位进位舍去）。它们的不同点在于：溢出判断不一样。

     至于无符号数的加法，和上面是一致的，所有的位数都参与运算。它的溢出判断逻辑也及其简单。从表面上看就是如果加法变大，减法变小才符合逻辑，如果不符合这个逻辑，那肯定是不对的。那么我们还有UOF = Sub 异或 Cout（这里Sub代表减法，如果是减运算，那么Sub = 1，如果是加运算，那么Sub = 0。Cout代表最高位进位），所以它的判断逻辑就是如果是加法的话，最高位有进位，那么溢出；减法的话，最高位没有进位，那么溢出。

     减法无非就是加上这个数的补码的形式，即X补-Y补 = X补 + [-Y]补，其余的运算就和加法一致了。它的溢出判断和上面也是一致的。

1、手算乘法

     我觉得第一步至少要会手算乘法，所以我们一起来看看一个例子：

A = -0.1101  B = 0.1011，我们需要计算A*B的值，首先符号位单独处理，这里就知道是负数，数值部分就如图所示（例子来源网上，太懒不想画图了，哈哈哈）：

     上面的手算我们可以观察出，被乘数A每次进行运算之后都是要左移的，当然你也可以看成是乘数B右移，然后它们得到的数相加就得到了乘法的结果。

2、原码计算

     手算小学生就会了吧，原码的话其实也就是符号位的话单独运算（即直接异或得出），数值部分就是如上的运算即可（当然你可能看到过竖式的计算，其实都是一样的，也很好理解）。例如：我们计算X = -0.1110和Y = 0.1101的原码乘积的时候，把符号位丢到一边计算，异或就为1，为负数。然后取绝对值，即X = 0.1110，Y = 0.1101，然后开始按照第一步的手算一般运算，就得到了-0.10110110，然后把我们的符号位加上就有1.10110110，这就是最后的答案。

3、补码计算

补码一位乘运算规则：

     有被乘数X和乘数Y，那么

     这里我们直接以例子的形式来看看，例如X = +0.0011 Y = -0.1011，求[X*Y]补（一看就是乘数为负的形式）。那么其实也是一样的，首先我们转换为补码形式，并且被乘数X以双符号位表示，乘数Y以单符号位表示（还要计算被乘数X的负数形式的补码）。那么[X]补 = 00.0011，[-X]补 = 11.1101，[Y]补 = 1.0101。之后也就是：让[X]补和[Y]补（注意，这里是去符号位的0.0101）相乘得到00.00001111，然后加上[-X]补，就得到了结果11.11011111。

     至于溢出的判断逻辑如下：

（约定：小数定点除法，被除数绝对值小于除数；整数定点除法，被除数大于除数；除数不能为0，被除数不能为0）

1、手算除法

     对于手算除法来说，也是和我们小学所学的一致，但我们有几个约定的规则：首先商的符号单独计算，余数不动低位补0减去右移一位的除数。例如X = -0.1011, Y = 0.1101。求X / Y有：

2、原码除法

     原码相除时，商的符号位由两个符号位相加求得，商的数值位由两数的数值部分相除得到，也就是和上面的手算除法是一至的算法（当然，数值部分的计算用上面的手算是可以的，也可以用下面提到的恢复余数法和不恢复余数法，也就是计算机内部的计算）。

     这里用不恢复余数法做一个例子（算子在下面可以查看）：

（这里不要奇怪哦，有些地方是余数左移然后再和除数进行计算，而我这里是用余数与右移的除数进行运算，其实本质都是一致的哦，我这里将除数右移计算，这样得到的余数就不需要矫正了）。

3、补码除法

     我们采用心算（计算机内部则是进行移位操作）的时候总是可以判断够不够减，不够就商0，够减商一再做处理。但是计算机内部是不能这么做的。前辈们想到了恢复余数法：机器先做减法，若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。不够减时必须恢复到原来的余数，以便继续往下运算，这就是恢复余数法。但恢复余数使除法过程困难，不容易控制。我们就采用不恢复余数法，也叫加减交替法。特点就是运算过程中如出现不够减，不必恢复余数，根据余数符号，可以继续往下运算。