书中关于原码、反码、补码和移码的定义如下(n是机器字长)： 原码：

反码：

补码：

移码：

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

移码最简单了，不管正负数，只要将其补码的符号位取反即可。

例如：X=-101011 , [X]原= 10101011 ，[X]反=11010100，[X]补=11010101，[X]移=01010101

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法. 现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同: [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数: [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢? 首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了. 于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码: 计算十进制的表达式: 1-1=0 1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数. 为了解决原码做减法的问题, 出现了反码: 计算十进制的表达式: 1-1=0 1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原 和[1000 0000]原 两个编码表示0. 于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题: 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128: (-1) + (-127) = [1000 0001]原

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原 , 这是不正确的) 使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127]. 因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231 , 231 -1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢? 将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4. 所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代! 现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉. 首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

同余的概念 两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余 记作 a ≡ b (mod m) 读作 a 与 b 关于模 m 同余。 举例说明: 4 mod 12 = 4 16 mod 12 = 4 28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

负数取模 正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢? 下面是关于mod运算的数学定义:

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号: x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是: x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界. 以 -3 mod 2 举例: -3 mod 2 = -3 - 2xL -3/2 J = -3 - 2xL-1.5J = -3 - 2x(-2) = -3 + 4 = 1

所以: (-2) mod 12 = 12-2=10 (-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

再回到时钟的问题上: 回拨2小时 = 前拨10小时 回拨4小时 = 前拨8小时 回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律! 结合上面学到的同余的概念.实际上: (-2) mod 12 = 10 10 mod 12 = 10

-2与10是同余的. (-4) mod 12 = 8 8 mod 12 = 8

-4与8是同余的. 距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理: 反身性: a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的. 线性运算定理: 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么: (1)a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm 所以: 7 ≡ 7 (mod 12) (-2) ≡ 10 (mod 12) 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等. 接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题. 2-1=2+(-1) = [0000 0010]原

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126. 发现有如下规律: (-1) mod 127 = 126 126 mod 127 = 126

即: (-1) ≡ 126 (mod 127) 2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1 所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值! 而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果. 既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果? 2-1=2+(-1) = [0000 0010]原

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则: [0111 1111]原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值: (-1) mod 128 = 127 127 mod 128 = 127 2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]. 但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]