简化的行阶梯形矩阵(Gauss |
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打开实时脚本 以一个包含四个方程和三个未知数的线性方程组为例。 x1+x2+5x3=62x1+x2+8x3=8x1+2x2+7x3=10-x1+x2-x3=2. 创建一个表示该方程组的增广矩阵。 A = [1 1 5; 2 1 8; 1 2 7; -1 1 -1]; b = [6 8 10 2]'; M = [A b];使用 rref 以简化行阶梯形矩阵表示该方程组。 R = rref(M)R = 4×4 1 0 3 2 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0R 的前两行包含表示 x1 和 x2 关于 x3 的方程。接下来的两行表示存在至少一个适合右侧向量的解(否则其中一个方程将显示为 1=0)。第三列不包含主元,因此 x3 是自变量。因此,x1 和 x2 的解有无限多个,可以自由选择 x3。 x1=2-3x3x2=4-2x3. 例如,如果 x3=1,则 x1=-1 且 x2=2。 从数值的角度来看,求解该方程组的更高效方法是使用 x0 = A\b,此方法(对于矩形矩阵 A)计算最小二乘解。在这种情况下,您可以使用 norm(A*x0-b)/norm(b) 检查解的精确度,通过检查 rank(A) 是否等于未知数的数目来确定解的唯一性。如果存在多个解,则它们都具有 x=x0+nt 形式,其中 n 是零空间 null(A) 且 t 可以自由选择。 |
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