线性代数知识总结 |
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目录 一、行列式 1.1 概念 1.2 逆序数 1.3 行列式的计算 1.3.1 公式法 1.3.2 三角形法 1.3.3 按行按列展开(做题推荐首要考虑此方法) 1.4 行列式的性质 二、矩阵 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.2.1 矩阵的加法 2.2.2 矩阵的乘法 2.2.3 矩阵的转置 2.3 方阵的行列式 2.4 逆矩阵(重点) 2.4.1 逆矩阵的定义 2.4.2 求逆矩阵 2.5 克拉默法则 三、矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 矩阵的初等行变换 3.2 行阶梯型矩阵 3.3 初等行变换求逆矩阵 3.4 矩阵的秩 3.5 线性方程组的解 四、向量的线性相关性 4.1 向量组及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 课后题 5、相似矩阵及二次型 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.2.1 相似矩阵定义 5.2.2 对角化 一、行列式 1.1 概念 ![]() 二阶行列式 数 元素 第二个下标 j 称为列标表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元. 参看图1.1,把a11到a22的实连线称为主对角线,a12到a21的虚连线称为副对角线,于是二阶行列式的值便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差. 所以我们要知道的是:行列式最终代表的是一个数值,是一个数 1.2 逆序数全排列:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(也简称排列). 如 12345678 逆序数:对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 如 24513,它的逆序数为5,则它是奇排列 对换:在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换,叫做相邻对换. 由对换我们可以引入逆序数的定理及推论: 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.二阶行列式的计算及是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.我们主要讨论高阶行列式的计算 1.3.1 公式法我们可以用以下公式直接计算三阶及n阶行列式的值
三角形行列式: 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式;特别,主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式. 计算方法我们直接上例题 余子式:在n阶行列式中,把(i,j)元 例题 1.4 行列式的性质 记行列式DT称为行列式D的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质1证明: 由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之亦然. 性质2 对换行列式的两行(列),行列式变号.性质2 证明: 证 把这两行对换,有D=-D,故D=0.证毕 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数k,等于用数k乘此行列式推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 例题(范德蒙行列式) 证明: 由m 矩阵中的每个数 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作A 行矩阵:只有一行的矩阵,又称行向量 列矩阵:只有一列的矩阵,又称列向量 零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,注意不同型的零矩阵是不同的. 对角矩阵:从左上角到右下角的直线(叫做对角线)以外的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵,简称对角阵.对角阵也记作 定义2 设有两个m×n阵A=( 矩阵加法满足下列运算规律 (设A,B,C都是m×n矩阵): A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C).设矩阵A=( 由此规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B) 2.2.2 矩阵的乘法数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B为m×n矩阵,λ、μ为数): (λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A=λA+μA;λ(A+B)=λA+λB.矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算. 矩阵之间的乘法: 矩阵的乘法不满足交换律,但仍满足下列结合律和分配律(假设运算都是可行的): (AB)C=A(BC);λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ为数);A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.例题 矩阵的转置也是一种运算,满足下述运算规律(假设运算都是可行的): 由A确定︳A︳的这个运算满足下述运算规律(设A、B为n阶方阵,λ为数): |伴随矩阵: 证明: 如果矩阵A是可逆的,那么A的逆矩阵是惟一的.这是因为:若B、C都是A的逆矩阵,则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,所以A的逆矩阵是惟一的.A的逆矩阵记作 ![]() 定理2 证明: ![]() 我们在这里先只介绍一种求逆矩阵的方法 :由伴随矩阵求逆矩阵,后续我们讲到矩阵的初等行变换时会介绍另外的求法 由定理2我们知道 我们可以由此公式很容易便得出矩阵的逆矩阵,并不需要进行思维较为复杂的矩阵行变换(另一种求逆矩阵的方法),但是这种计算方式计算量大,不适合阶数较大的方阵,一般适用于特殊形式的矩阵计算,会节省我们做题的时间 例题 ![]() 看例题是最快理解概念的方式
矩阵之间的等价关系具有下列性质: 反身性A~A;对称性若A~B,则B~A;传递性若A~B,B~C,则A~C. 3.2 行阶梯型矩阵定义 可画出一条阶梯线,线的下方全是0每个台阶只有一行阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素进一步,若A是行阶梯形矩阵,并且还满足: 非零行的首非零元为1;首非零元所在的列的其他元均为0,则称A为行最简形矩阵. 如图示:(行最简型矩阵) 标准形:对行最简形矩阵再施以初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵,称为标准形.例如:
由定义3,我们可以给出初等矩阵的一些性质(选择题可能会出相关概念题) 性质1 设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.性质2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵Pn,P2,…,Pl,使A=P1P2…Pn.推论 方阵A可逆的充分必要条件是学习了矩阵的初等行变换后 ,我们就可以用此种方法求矩阵的逆矩阵了 例题 ![]() 简单来说,矩阵的秩就等于行阶梯型矩阵非零行的个数 例题 矩阵秩的一些性质 定理3 n元线性方程组Ax=b 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);有惟一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.其对应的齐次线性方程组Ax=0,有非零解的充分必要条件是R(A) |
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