书接上回，咱们继续研究多元一次方程组的解。

不过我们要先研究一些别的东西，通过对这个东西的研究我们能更好的了解矩阵，进而完善上一期的理论。

这个内容其实以前见过，但是以前质量不高，这次重新拿出来研究一遍。

首先，线性变换是几何变换的大类。比如绕着原点的旋转变换就属于线性变换。

在以前我们都是只对图形本身施加变换，但是在这里我们为了后续研究的方便把坐标轴也跟着变换，而且我们还要保留原来的坐标轴。

比如，原本在坐标轴xOy上有一个正方形，我们对正方形绕着原点逆时针旋转90°，同时坐标轴也自动跟着旋转为坐标轴x'Oy'。

然后，我们明确一下哪些变换属于线性变换。

线性变换符合一下特点：

①坐标原点不改变位置

②直线变换后还是直线

③平行线变换后仍然平行

④等距的几组平行线变换后仍然等距

符合这些特点的变换就是线性变换。

当然，线性变换有更严谨的定义。

由于变换所施加的图形不固定所以我们选择描述变换后的坐标轴。而原来的坐标轴作为描述的基准。

至于坐标轴的描述方法嘛。。。

我们是选取的坐标轴上的单位向量。这个向量有独特的记法。例如x轴方向的单位向量记作x上面加上^即

这个读作x hat(hat是帽子的意思，所以也有读作x帽的)。

描述的时候记下对应向量在原坐标系的坐标然后竖着写到矩阵中。

例如描述变换：x，y坐标乘以2就用这个矩阵

第一列(2，0)表示x hat变成了(2，0)

其他列以此类推。

这个矩阵有两行两列，我们说这个矩阵是一个2×2矩阵。一般地，如果一个矩阵有m行，n列，它就是m×n矩阵。

你或许注意到了，在矩阵中我们似乎喜欢竖着写一个向量。当然，你一定要横着写也不是不行哈。

我们描述了线性变换，但是我们还不清楚某个向量作用某个变换后的结果怎么求。而这便要利用矩阵的乘法。

一般地，一个向量可以分解为若干个单位向量的线性组合，而我们又记录了单位向量的坐标，其实只要两个一乘不就是新向量的坐标了吗？

我们以

这个矩阵为例。

向量

表示这个向量是3倍x hat+2倍y hat

而x hat成了(2，0)，y hat成了(0，2)

于是新向量就是x hat和y hat的一个线性组合

3(2，0)+2(0，2)=(6，4)

我们记作

左边写变换，右边写原向量，最后写结果。

上面的这个运算就叫矩阵的乘法。它的意义是右边的向量经过左边的线性变换后得到的结果。

这个运算其实是一种映射(类似于函数)。而原矩阵就是映射的原像(类似自变量)。记号f(x)中原像x就在右边，所以这里沿用这种记号将原向量放在右边。

小小总结一下，矩阵乘以向量得到的结果是一个向量。你可以用前面在理解时的方法拆解运算然后得到结果，但有时这会比较繁琐。所以我给个一步到位的方法。

用右边向量数乘第一行的行向量(将某一行看做一个向量，这个向量我们称为行向量。列向量的概念与之类似)将得到的结果放在结果的第二行。以此类推，数乘第二行行向量放在结果的第二行，等等。

既然有矩阵乘以向量(即一列或一行的矩阵)，那就有矩阵乘以多列多行矩阵。

矩阵A乘以矩阵B=矩阵C的几何意义就是，矩阵C对应的变换等价于先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换。

因此我们可以这么拆分运算：将矩阵B的第一列列向量乘以矩阵A，得到的结果放在第一列。将矩阵B的第二列列向量乘以矩阵A，得到的结果放在第二列，以此类推。

从原理来看这种拆分就是将矩阵B对应的单位向量进行矩阵A对应的变换。

当然，每次都这么拆分还是挺麻烦的。

一步到位的计算方法是：矩阵B的第一列列向量乘以矩阵A，放在新矩阵第一列，其他列类似。

这里需要注意一下哈，根据咱们这个定义哈，并不是随便拉两个矩阵就能相乘的。

一般地，矩阵有m行n列我们就说它为m×n矩阵。当m=n时称为n阶方阵。

你自己可以用我们这个方法试一下，只有m×p矩阵和p×n矩阵才能相乘。即左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，这样两个矩阵才能相乘。

用严谨的数学语言表达矩阵乘法的定义就是

关于行列数的问题口诀是：中间一致能相乘，巧取两头得行列。

意思是，按顺序写出他们是几乘几矩阵，中间两个数一致的矩阵才能相乘，得到的结果矩阵是几乘几矩阵则可以按顺序取剩下的位于两头的两个数。

这里特别强调顺序啊。因为矩阵的乘法是不满足乘法交换律的！先进行A变换和先进行B变换得到的结果不一定相同！如先向右平移一个单位后绕原点旋转90°和先绕原点旋转90°再向右平移一个单位结果是不同的。

(注意，以上例子中向右平移一个单位不是线性变换)

当然，这是从几何意义上理解的，你也可以用计算说明。这种计算的你自己就能完成我就不多说了。

有了矩阵乘法我们可以更进一步完善前面的理论。

在上一期，我们发现求解任意的线性方程组都可以等价为找向量的线性组合。而矩阵乘以向量恰好就代表了列向量的线性组合。

于是我们可以把解线性方程组转化为解矩阵方程。(矩阵方程指的是以矩阵为未知量的方程)

逆用矩阵乘法就能得到

要解方程组

只要解矩阵方程

即可。

因为左边两个矩阵相乘得到的结果矩阵的每一行刚好是方程组的左边，而它又等于方程组的右边。

最左边的矩阵是方程组的系数矩阵，已知。我们一般记作A

中间的是未知数组成的矩阵，未知，我们一般记作X

最右边是常数项组成的矩阵，已知，我们一般记作B

因此解线性方程组就是要解矩阵方程AX=B。

那么，这个方程怎么解呢？

这个嘛。。。。诶嘿

我们继续回来研究线性变换。之前我们研究了向量(或者说某个点)经过线性变换后的位置的求法。接下来我们就要把目光投向整个图形了。

我们的讨论从二维坐标系下x hat 与y hat决定的平行四边形面积开始。

这个我们之前提过，所以我这里只是大致说一下。具体内容看

这篇中面积的叉乘表示即为下面要说的东西。

简述：

因为我们没有现成的好用的平行四边形面积公式(底乘高并不好用)，所以我们选择把平行四边形分成面积相等的三角形，用0.5absinC这个面积公式。

这样平行四边形面积就是absinC，其中a，b是两邻边，C是其夹角。

接下来，用两点间距离公式+余弦定理我们就能得到这个平行四边形面积是x1y2-x2y1的绝对值。

这个面积是线性变换中面积变换的一个代表，具有特殊的意义，我们要给予它一个特殊的记号。

线性变换

的“特殊面积”称为这个矩阵的行列式。记号是把矩阵的括号改成竖线。当我们用大写字母代表矩阵时，如A，那么我们可以用|A|表示矩阵A的行列式。(这里出现了一个很像A的绝对值的东西，但它并不是绝对值！！！一定要注意区分！！！)对了，det（A）也表示A的行列式。

二阶行列式的一种几何意义是两个列向量（或行向量，下期说）决定的平行四边形的有向面积。这个有向面积既有大小又有方向，方向暂且不提，大小则是面积。

这个几何意义可以往更高阶推广，例如

三阶行列式的一种几何意义是三个列向量（或行向量，下期说）决定的平行六面体的有向体积。这个有向体积既有大小又有方向，方向暂且不提，大小则是体积。

你或许注意到了，这是行列式的一种几何意义，那就说明它还有其他几何意义。

这个几何意义就和线性变换有关了。

det（A）的另一种几何意义是，

如果有一个面积为S的几何图形，经过矩阵A代表的线性变换，其面积会变为det（A）S

即行列式描述了线性变换中面积的变化比例。

到这里，我们可以得到一种相对简单的求解线性方程组的方式了，那就是克莱姆法则。

为了介绍的简明性，咱们以解

这个方程组为例。

根据本期3.的介绍，这个问题可以转化为求解

然鹅咱暂时不会求解这个矩阵方程。

不过我可以再提供一个新的思路。

把这个式子看做向量(x，y)经过左边的线性变换变成(1，2)。

而向量(1，0)即x hat与向量(x，y)决定的平行四边形面积，是不是就是底乘高=1y=y啊？(不理解就画图)

由于行列式是有向面积所以我们把y＜0的情况也包括了 

而当你

对(x，y)施加变换后结果是(1，2)，对x hat施加变换后结果是第一列的列向量(咱们的矩阵就是这么来的嘛)。他们决定的平行四边形的面积可以用行列式

表示。

根据行列式的第二个几何意义，这个变换矩阵的行列式=变换后的面积(上述行列式)÷变换前的面积y

所以y=变换后的面积(上述行列式)÷变换矩阵的行列式

即

同理我们可以求出x。

这些事不仅可以在二维空间发生，也可以在高维空间发生即这套方法可以解高次线性方程组。

这套方法被瑞士数学家克莱姆总结为了克莱姆法则。

求解线性方程组

先求解系数矩阵的行列式D，如果要计算第i个解，则将系数矩阵的第i列换作b1 b2 …… bn，再计算这个矩阵的行列式Di

于是xi=Di/D

这就是克莱姆法则的第二部分。

至于第一部分。。。。

你要看的话就给你看一下吧，这个我打算之后再提的。

（1）当线性方程组的系数行列式(系数矩阵的行列式)不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有无数个解，那么方程组的系数行列式必定等于零

(3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。(数域这个概念之前讲过了，就是一个对四则运算封闭且具有0，1的数集)

本篇专栏到此结束。

什么？你问我行列式怎么计算？计算的问题下一期再说吧。