【行列式】8、逆序数与行列式 |
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这是一个范德蒙行列式,两种求法,求法不同,答案一致。一是按照范德蒙行列式的结果,从第二行入手,二是展开,这里最后一列展开, 展开法(只写出一项展开): 范德蒙求法:
所以 所以
n个不同的元素排成一列,称为n个元素的全排列。 如:12345678,76532184,等等均为8个元素的全排列。 n个元素的全排列共有n!个。 2、逆序与逆序数全排列123···n称为标准排列,此时元素之间的顺序称为标准顺序。在任一排列中,若某两个元素的顺序与标准顺序不同,就称这两个元素构成了一个逆序。 例:213中,2和1构成一个逆序。321中,1和2,1和3,2和3都构成逆序。 在一个排列中,逆序的总和称为逆序数。如213的逆序数为1,321的逆序数为3。 逆序数怎样求??? 从第一个元素起,该元素前有几个数比它大,这个元素的逆序就是几。将所有元素的逆序相加,即得到排列的逆序数。 排列: 321 逆序数:0+1+2=3 例:求全排列135…(2n-1)24…(2n)逆序数。 解:1,3,5,···(2n-1)不构成逆序. 2前面有n-1个数比它大,故有n-1个逆序. 4前面有n-2个数比它大,故有n-2个逆序. 依次下去,2n前面没有数比它大,故没有逆序. 将所有元素的逆序相加,得逆序数: 1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)/2 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。如: 在3个元素的全排列中: 123,231,312为偶排列,逆序数分别为0,2,2. 132,213,321为奇排列,逆序数分别为1,1,3. ?:两个数对调,奇偶排列发生转化 ?:奇偶排列各占一半 3、对换在一个排列中,任意对调两个元素,其余元素不变,即得到一个新排列,这样一种变换称为对换。 对换有两个性质: 1.任意一个排列经一次对换后改变奇偶性. 2.在n个元素的全排列中,奇偶排列各占一半,为n!/2. (当n>=2时,n!一定为偶数) 性质1的证明: 对换有两种,一种相邻,一种不相邻. 相邻对换 ---ab--- ---ba---若a比b大,对换后则逆序数减少一个,其余不变,所以全排列就会奇变偶,或偶变奇。若a比b小,对换后则逆序数增加一个,其余不变,所以全排列就会奇变偶,或偶变奇。 不相邻对换,假设中间隔着L个元素 ---a---b--- ---b---a---a与后面的一个个对换,对换到b后面,因为还要和b对换,所以需对换L+1次,a对换结束后,b再一个一个对换到前面,需要对换L次。所以总共对换2L+1次,相邻对换一次,奇偶变一次,2L会抵消对换,1才起作用,所以变一次,即奇变偶,或偶变奇。 2L为什么会抵消变化? 两种形式,奇排列和偶排列,变一次即奇变偶或偶变奇,性质发生变化,变两次即奇变偶,偶再变奇,性质不变,所以偶数次变化会抵消变化,性质不变,奇数次变化会改变性质,2L为偶数。 性质2的证明: 假设n个元素的全排列中,有p个奇排列,有q个偶排列。把p个奇排列变化一次,变为偶排列,此时变化得到的偶排列还是属于全排列中的,所以得出p |
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