历史遗留问题，当初学的时候压根没搞清楚原理，现在回头看来依旧是个拦路虎，正好这次给搞清楚了，记录一下。

 1、行列式的几何意义：

一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；（显然这个比较容易接受）

另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这里虽然说明了面积-体积，但那个有向面积-有向体积又是啥涅：

二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。

二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外，两个向量的叉积也是这个公式。

二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在二维平面上，z轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。【如果不知道什么是叉积，请自行百度】

到这里也就理解了什么叫有向面积、体积。

2、现在从几何意义上来解释行列式变号这个问题：

从行列式的物理意义来考虑：以二维为例——行列式即平行四边形的“有向面积”。

交换行/列，即“有向面积”变号：            如两个列向量构成行列式 | α , β | ——表示从α到β(逆时针)的平行四边形的“有向面积”：

交换列，得| β , α | ——仍表示从α到β(顺时针)的平行四边形的“有向面积”，但“方向”与之前不同了(变号)

综上，交换行列式的行(列)，即α到β所构成的平行四边形的“面积”改变方向，体现在行列式上，即行列式变号。

1、这里其它的就不说了，现在已经知道的是，以仅变换两行为例：

变换前行列式D的行标排列为1...i...j...n，逆序数为s，列标排列不变逆序数为t

变换后行列式D'的行标排列为1...j...i...n，逆序数为s'，列标排列不变逆序数为t

2、证明排列两元素对换后，排列的奇偶性发生改变，即逆序数±(2m+1)。

参考：

https://www.zhihu.com/question/39038501

https://www.zhihu.com/question/26294660

http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html

https://blog.csdn.net/wo198711203217/article/details/79960699