矩阵分析 研究生第一课 |
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定义1 多项式矩阵的基本运算(子式****, 秩***, 伴随矩阵*, 等) 值数域定义：设F是一个数环,如果对任意的a,b∈F而且a≠0,则b/a∈F；则称F是一个数域.例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域. 显然没有整数域. 注：数环定义 设S是复数集的非空子集.如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S,则称S是一个数环.例如整数集Z就是一个数环,有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环. ） 为什么自然数集和整数集不是数域呢? 而有理数集是数域?有理数不是包括自然数和整数吗? 因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条 首先,无理数乘以无理数不一定是无理数,根号5乘以根号5等于有理数5． 整数除以整数不一定是整数,例如3／5＝0.6 都不满足数域关于加减乘除的封闭性． 定义2 多项式环 设 F 是一个数域 , λ 是一个文字 / 未定元 , 用 F [ λ ] 表示 F 上 ( 系数在 F 中取 ) 所有关于 λ 的一元多项式的全体 , 称 F [ λ ] 为 F 上的一元多项式环 . 多项式运算 加 2 减 3 乘 4 带余除法 定义3 多项式式矩阵/λ-矩阵 设 F 是一个数域 , λ 是一个文字 / 未定元 , F [ λ ] 是多项式环 , 若矩阵 A 的元素 是 λ 的多项式 , 即 F [ λ ] 的元素 , 则称 A 为 λ - 矩阵 , 并把 A 写成 A ( λ ) . 附注 由于 F ⊂ F[ λ], 故数域 F 上的矩阵 — 数字矩阵 也是 λ - 矩阵 , 即数字矩阵是特殊的 λ- 矩阵 . 2 λ - 矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算 , 其定义及运算规律与 数字矩阵相同 . 3 对于 n × n 的 λ - 矩阵 A ( λ ) , 同样有行列式 | A ( λ ) | , 它是一个 λ 的多项式 , 且有 | A ( λ ) B ( λ ) | = | A ( λ ) | · | B ( λ ) | , 其中 B ( λ ) 也为 n × n (n 阶 / 级 ) λ - 矩阵 . 4 与数字矩阵一样 , λ - 矩阵也有子式的概念 . λ - 矩阵的各阶子式是 λ 的多 项式 . 多项式的表现形式 以多项式为元素的矩阵 以数字矩阵为系数的多项式 与多项式的相乘不同 , 多项式矩阵相乘不满足交换律 ; 其原因在于矩阵的乘 法不满足交换律 . λ-矩阵的秩 若 λ - 矩阵 A ( λ ) 中有一个 r 阶子式不为零 , 而所有 r + 1 阶的子式 ( 若有的 话 ) 皆为零 , 则称 A ( λ ) 的秩为 r , 记为 rank ( A ( λ )) = r 或 r ( A ( λ )) = r . 可逆 λ-矩阵 一个 n × n 的 λ - 矩阵 A ( λ ) 称为可逆的 , 如果有一个 n × n 的 λ - 矩阵 B ( λ ) , 使 得 A ( λ ) B ( λ ) = B ( λ ) A ( λ ) = E , 其中 E 是 n 阶单位矩阵 , 称 B ( λ ) 为 A ( λ ) 的逆矩阵 ( 它是唯一的 ), 记作 A − 1 ( λ ) . 可逆的 λ - 矩阵称为单模态矩阵 . 可逆 λ-矩阵的判定 一个 n × n 的 λ - 矩阵 A ( λ ) 可逆 ⇔ | A ( λ ) | 是一个非零 常数 . λ-矩阵的初等变换 矩阵两行 (列) 互换位置; (同数字矩阵)矩阵的某一行 (列) 乘以非零常数 c; (同数字矩阵)矩阵的某一行 (列) 加另一行 (列) 的 φ(λ) 倍, φ(λ) 是一个多项式 . (不 同于 数字矩阵 ) [ i , j ] 表示 i , j 两行 ( 列 ) 互换 ; 2 [ i ( c )] 表示第 i 行 ( 列 ) 乘以非零数 c ; 3 i + j ( φ ( λ )) 表示把第 j 行 ( 列 ) 的 φ ( λ ) 倍加到第 i 行 ( 列 ). 4 [ i , j ] −−→ , [ i ( c )] −−−−→ , i + j ( φ ( λ )) −−−−−−−→ 表示行变换 ; −−→ [ i , j ] , −−−−→ [ i ( c )] , −−−−−−−→ i + j ( φ ( λ )) 表示列变换 . 行上列下 λ-矩阵的初等矩阵 乘初等矩阵与初等变换的关系 : 左乘变行 , 右乘变列 对一个 s × n 的 λ - 矩 阵 A(λ) 作一次初等行变换相当于在 A ( λ ) 的左边 乘上 ( 左乘 ) 相应的 s × s 的初等矩阵; 对 A ( λ ) 作一次初等列变换相当于在 A ( λ ) 的右边乘上 ( 右乘 ) 相应的 、 n × n 的初等矩阵 . 2 初等矩阵的可逆性 1 初等矩阵皆可逆 , 且 p ( i , j ) − 1 = p ( i , j ) , p ( i ( c ))^ − 1 = p ( i (1/ c )), p ( i , j ( φ ( λ ))) − 1 = p ( i , j ( − φ ( λ ))) . 2 初等矩阵的逆矩阵均为初等矩阵 等价 λ-矩阵 若 λ - 矩阵 A ( λ ) 能经过一系列 初等变换 化为 λ - 矩阵 B ( λ ) , 则称 A ( λ ) 与 B ( λ ) 等价 . λ-矩阵的对角化 设 λ - 矩阵 A ( λ ) 的左上角元素 a 11 ( λ ) , 0 , 且 A ( λ ) 中至少有一个元素不能 被它整除 , 那么一定可以找到一个与 A ( λ ) 等价的矩阵 B ( λ ) , 它的左上角元 素 b 11 ( λ ) , 0 , 且 deg ( b 11 ( λ )) < deg ( a 11 ( λ )) . ( b 11 ( λ ) 关于 λ 的次数严格小 于 a 11 ( λ ) 关于 λ 的次数 .) λ-矩阵的Smith标准型 r ≥ 1 , d i ( λ ) , i = 1 , 2 , . . . , r , 是首项系数为 1 的多项式 , d i ( λ ) | d i + 1 ( λ ) , i = 1 , 2 , . . . , r − 1 . 上述矩阵称为 λ - 矩阵 A ( λ ) 的 Smith 标准形 . 详细见 https://www.bilibili.com/read/cv4576758/ https://www.doc88.com/p-3814512656311.html?r=1 |
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