证明能被11整除的数的特征

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证明能被11整除的数的特征

2024-07-04 23:57:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

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来源：百度贴吧大师：asdx3611

重新简化文字，公式通用化，优化排版。看不懂通用公式可以先看例子。

能被11整除的数有两个特征：

1. 奇数位的数字之和减偶数位的数字之和能被11整除。

2. 从右往左，每两个数分成一组，各组数之和能被11整除。

下面依次证明。

1. 求证：一个数如果能被11整除，具有如下特征，奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。证明：注意到下列事实：一、99，9999，……，偶数位纯9数必能被11整除；二、1001，100001，……，中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。例子（以五位数为例）： $\begin{align*} s&=10000a+1000b+100c+10d+e\\ &=(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e\\ &=9999a+1001b+99c+11d\\&+[(a+c+e)-(b+d)]. \end{align*}$ 因为 $9999a+1001b+99c+11d$ 能被11整除，所以，只要 $[(a+c+e)-(b+d)]$ 能被11整除，原五位数就能被11整除，也就是：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

通用公式：

设n为偶数，则

$\begin{align*} s&=10^na_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+...+10a_{1}+a_{0}\\ &=(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}+1)a_{n-1}+...+(10+1)a_{1}\\ &+(a_{n}+a_{n-2}+...+a_{0})-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_{1}) \end{align*}$

其中 $(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}+1)a_{n-1}+...+(10+1)a_{1}$ 每一项都能被11整除，因此，要s能被整除，需要 $(a_{n}+a_{n-2}+...+a_{0})-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_{1})$ 能被11整除，证毕。

2. 求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。证明：以七位数为例，将七位数从右边开始，每两位为一组，分成四组，也就是四个两位数串（即首位数字可以为0）： a、b、c、d．则原七位数可表示成： $\begin{align*} s&=1000000a+10000b+100c+d\\ &=(999999a+a)+(9999b+b)+(99c+c)+d\\ &=999999a+9999b+99c+(a+b+c+d) \end{align*}$ 因为 $999999a+9999b+99c$ 能被11整除，所以，只要 $(a+b+c+d)$ 能被11整除，原七位数就能被11整除。也就是：如果这些两位数串（即首位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。例如：4055854，因为04+05+58+54=121能被11整除，所以，4055854能被11整除。

通用公式：

$a_{0}$ 表示最后两位数，个位和十位， $a_{2}$ 表示千位和百位。

$\begin{align*} s&=10^{2k}a_{2k}+10^{2k-2}a_{2k-2}+...+10^{2}a_{2}+a_{0}\\ &=(10^{2k}-1)a_{2k}+(10^{2k-2}-1)a_{2k-2}+...+(10^{2}-1)a_{2}\\ &+(a_{2k}+a_{2k-2}+...+a_{2}+a_{0}) \end{align*}$

其中 $(10^{2k}-1)a_{2k}+(10^{2k-2}-1)a_{2k-2}+...+(10^{2}-1)a_{2}$ 能被11整除，如果s能被11整除，则 $(a_{2k}+a_{2k-2}+...+a_{2}+a_{0})$ 也要被11整除。

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