集合：不能精确定义的基本的数学概念。一般认为集合指的是一些可确定的、可分辨的事物构成的整体。

集合通常用大写的英文字母来标记

​ 常用数集：

​ N 自然数集合（0是自然数）

​ Z 整数集合

​ Q 有理数集合

​ R 实数集合

​ C 复数集合

​ 集合的表示：

​ 列元素法：将集合的所有元素一一列举出来，元素之间用逗号分开，并用花括号将它们括起来。

​ 例如：A={ 1,b,c,5 }

​ 1是集合A的元素，记作1∈A，并且b∈A、c∈A、5∈A

​ 2不是集合A的元素，记作2∉A

​ 谓词表示法：

​ B={ x| P(x) } B由使得P(x)为真的x构成

​ 例如：B={ x|x∈Z∧3{a,b}} }

​ D { a,b } ∈{ a,b,{{a,b}} }

​ 2.设P={ x|(x+1)2≤4且x∈R }，Q={x| 5≤x2+16且x∈R }，则下面陈述正确的是？（ ）

​ A Q ⊂ P

​ B Q ⊆ P

​ C P ⊂ Q

​ D P = Q

​ 答案：1. ABC 2. C

​ 空集Ø 不含任何元素的集合

​ ∅={ x| x≠x }

​ 空集是客观存在的

​ 实例 {x|x2+1=0∧x∈R }就是空集

​ |∅|=0，|{∅}|=1

​ ∅-∅=∅

​ 定理 空集是任何集合的子集

​ ∅⊆A⇔∀x(x∈∅→x∈A)⇔T

​ 推论 空集是惟一的

​ 证明 假设存在∅1和∅2，则∅1⊆∅2且∅2⊆∅1，因此∅1=∅2

​ 全集E 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集。

​ 相对性的概念。研究的问题不同，所取得全集也不同。

​ 在给定问题中，全集包含任何集合，即∀A( A⊆E )

​ 定义 集合A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作P(A)。

​ P(A)={ x|x⊆A }

​ P(A)={x|x⊆A }

​ 实例

​ P(∅)={ ∅ }

​ P({∅})={ ∅, {∅} }

​ P({1,{2,3}})={ ∅, {1},{{2,3}},{1,{2,3}}

​ 计数

​ 如果|A|=n，则|P(A)|=2n

​ 例题：

​ 1.下面哪些陈述正确？（ ）

​ A ∅ ∈ ∅

​ B ∅ ⊆ ∅

​ C ∅ ∈ {∅}

​ D ∅ ⊆ {∅}

​ 2.下面关于集合的表示中正确的是？（ ）

​ A {a} ∈ { a,b,c }

​ B {a}⊆ { a,b,c }

​ C ∅ ∈ { a,b,c }

​ D {a,b} ∈ { a,b,c }

​ 3.设A={ 2,{a},3,4}，B={ {a},3,4,1 }，E为全集，下列命题正确的是？（ ）

​ A {2} ∈A

​ B {a}⊆ A

​ C ∅ ⊆ {{a}}⊆B⊆E

​ D {{a},1,3,4} ⊂ B

​ 4.设S={ ∅,{2},{1,∅}}，则P(S)有多少个元素？（ ）

​ A 3

​ B 16

​ C 8

​ 5.设A={ a,{a}}，下列命题错误的是？（ ）

​ A {a} ∈P(A)

​ B {a}⊆ P(A)

​ C {{a}}∈P(A)

​ D {{a}} ⊆ P(A)

​ 答案：1. BCD 2. B 3. C 4. C 5. B

​ 并 A∪B={ x|x∈A∨x∈B }

​ 交 A∩B={ x|x∈A∧x∈B }

​ 相对补(把A有B没有的元素取出来) A-B={ x|x∈A∧x∉B }

​ 对称差(去掉AB中都有的元素) A⊕B=(A-B)∪(B-A)

​ =(A∪B)-(A∩B)

​ 绝对补 ~A=E-A

例如： E={0,1,2,3}，A={0,1,2}，B={2,3}

​ A∪B={0,1,2,3}=E

​ A∩B={2}

​ A-B= {0,1}

​ A⊕B={0,1}∪{3}={0,1,3}

​ ~A={3}

​ ~B={0,1}

运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定

并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

A1∪A2∪…An={ x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An }

A1∩A21∩…An={ x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An }

某些重要结果

∅⊆A-B⊆A

A⊆B⇔A-B=∅

A∩B=∅⇔A-B=A

例题：

​ 1.分别对条件(1)到(3)，确定X集合与下述那些集合相等。

​ S1={ 1,2,…,8,9 }，S2={ 2,4,6,8 }，S3={ 1,3,5,7,9 }，S4={ 3,4,5 }，S5={ 3,5 }

​ （1）若X∩S3=∅，则X

​ （2）若X⊆S4，X∩S2=∅，则X

​ （3）若X-S3=∅，则X

​ 2.令A={ 1,2,3 }，B={2,3}，则A⊕B的幂集是P(A⊕B)=( )

​ A {∅,{1}}

​ B {∅,{1,2},{1}}

​ C {∅,{1,2}}

​ D {∅,{2},{3}}

​ 3.若A-B=∅，以下结论中正确的是？( )

​ A A=∅

​ B B=∅

​ C A⊂B

​ D B⊂A

​ 4.以下结论中正确的是？( )

​ A 若A-B=B-A，则A=B

​ B 空集是任何集合的 真子集

​ C 空集只是非空集合的子集

​ D 若A的一个元素属于B，则A=B

​ 5.设A、B为集合，当( )时A-B=B。

​ A A=B

​ B A⊆B

​ C B⊆A

​ D A=B=∅

​ 答案：1. (1)=S2 (2)=S5 (3)=S3，S5 2. A 3. D 4. A 5. D

吸收律的前提：∪、∩可交换

例题：

​ 以下陈述正确的是？

​ A if A∪B=A∪C，then B=C

​ B if A∩B=A∩C，then B=C

​ C if A-B=∅，then A=B

​ D if ~A∪B=E，then A⊆B

答案：D

以上的X，Y代表集合公式