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标题数学建模:人口增长模型——基于matlab语言
写文章是为了记录存档,可能排版比较拉跨,但源码皆粘贴可用,若有帮到你,请给个赞以表示鼓励!!!! 一. 建立模型背景:通过已知的人口数据,研究人口变化规律,建立人口数学模型描述人口发展的规律。做出较准确的增长预测,是指定积极、稳妥的人口政策的前提。 二. 人口指数增长模型的建立:当考察一个较大地区的人口随着时间延续而变化的规律时,为了利用微积分这一数学工具。可以将人口看作连续时间t的连续可微函数x(t)。记初始时刻(t=0)的人口为x0.假设单位时间人口增长率为常熟r,rx(t)就是单位时间内x(t)的增量dx/dt,于是得到满足的微分方程和初始条件是dx/dt=rx,x(0)=x0,进而得出x(t)=x0e^(rt);这两个公式称为指数增长模型; 三. 指数增长模型的参数估计:包括两种方法; 方法一:直接用人口数据和最小和二乘法模型的参数 1.1求解方法:在matlab中,要通过线性最小二乘法预测参数系数,我们是使用polyfit()函数,通过已知的真实人口数据,就可得出计算结果,计算代码: % 人口预测 y1=1:22; p1=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6... 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 150.7... 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; % 方法一 r1=polyfit(y1,log(p1),1); exp(polyval(r1,1790)); plot(y1,p1,'.',y1,exp(polyval(r1,y1))); grid on1.2.求解参数结果:r(1)代表增长率,求解r结果截图 2.2.求解参数结果: 2.4.用方法二得到的参数计算出的人口数量如下: 四、改进的指数增长模型 1.改进原因:增长率r从19世纪上半叶的0.03年左右,下降到20世纪末只略大于0.01年,针对这么大的变化,应该改进指数增长模型(4)中人口增长率为常熟的假设,将r视为t的函数r(他),即改写方程为dx/dt=r(t)x=(r0-r1t)*x,x(0)=x0; 2.利用最小二乘法求解改进模型的参数代码: % 改进的指数增长模型 x3=polyfit(y1,x1,1); r3=zeros(1,22); r3(1)=p1(1); for i=2:22 r3(i)=p1(1)*exp(0.3252*(i-1)-0.0114*(i-1)^2/2); end plot(y1,p1,'*',y1,r3) grid on3.用改进的指数增长模型计算美国人口图像如下: 5.方法一所得参数如下: 10.方法二估计参数图像: 写文章是为了记录存档,可能排版比较拉跨,但源码皆粘贴可用,若有帮到你,请给个赞以表示鼓励!!!! |
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