导读小朋友们玩过《纪念碑谷》游戏吗？大致是这样的：需要玩家挑战穿越难度不断升级、错综复杂的几何空间和道路关卡去到终点，完成游戏。从这个游戏，我们可以看到当中有很多“不可能形”呈现的几何造型，美观且玄妙，让人久久回味。今天要和大家分享的就是与之相...

又被称为“不可思议三角形”，是悖理与比例逆反的典型体现。将三条长方形以不同的视角使其错位地交织在一起，在三条长方体“不合理”的衔接中，不可思议地创造了一种视觉“扭曲”感，一种强力的视觉穿透力跃然于纸。

彭罗斯三角

伪三角

仔细观察分析这个三角形，便可发现我们的视觉被转换了三个角度。

按常理应得出三个不同时空的三角形。然而，把同一时空转移为不同时空并巧妙地整合成一个三角形，一个全然是不可能的三角形，却改变了人们的视觉经验，使“不可能”成了实实在在的可能的视觉形。

由二维形的形式表现出来的拥有4个90°拐角的四边形楼梯。可以看到有四条向上的楼梯，并且都是相互延伸的，看着像一个无线循环的阶梯，让你永远也走不到终点。

无尽阶梯

伪视错觉

由于它是个从不上升或下降的连续封闭循环，当我们走入它时，通过两段阶梯，不论上下楼，都会回到进入它的楼层。所以一个人可以永远在上面走下去而不会下降。显然这在三维空间中是不可能的。

1832年由瑞士结晶学家Louis Albert Necker发表。

纳克方块是个模棱两可的线条画。它以等大透视的角度绘画一个立方体，即平行的边在中会画成等长的平行线。因为线的相交，画没有提示这个立方体是在前还是在后，向上还是向下。

纳克方块

视错觉

在这个立方体中某一条应该靠近观察者的棱神奇地被一条应该远离观察者的棱挡在了更远处，在后面的棱跑到前面，使人产生错觉，和空间形成矛盾，只能表现在二维平面上，在现实世界是不可能客观存在的。

再分享几张

看看小朋友的大够用不～

疯狂的螺丝

楼上与楼下

恶魔的音叉

不可能的架子

以上是非常经典的悖论视错觉，在现实世界中不可能客观存在的形。由人类的视觉系统在瞬间下意识地对一个二维形的三维投射而形成的矛盾错觉。

当“不可能形”与不断产生的新视觉形式相遇，那么越来越多的“不可能”将会变成“可能”。

期待小朋友们的新收获

如果我们看一下环是如何定义的，我们可以看到它是群的一个特例，它源于试理解我们最常见的数字系统如何适应群论的尝试——群论是在时间。

定义 1.1：环是一个集合R以及该集合上的两个二元运算符+（加法）和 ｘ（乘法），使得：

R是加法算子下的交换群。这意味着加法是结合性的，所以 ( a + b) + c = a + (b + c)对于R中的任何a、b、c。它也是可交换的，所以对于任何a、b，a + b = b + a在R中有一个加法恒等式，通常表示为 0，其中对于 R 中的任意 a，a + 0 = a。对于 R中的任意a，有一个加法逆元，通常表示为 _ a，其中a + ( _ a ) = 0。

乘法运算符下的R是结合性的， R包含乘法下的恒等式，通常记为1。

当乘法作用于加法时，乘法是左分配的和右分配的。即a x (b + c) = (a x b) + (a x c)和(a + b) x c = (a x c) + (b x c)对于R中的任何a, b, c .

请注意，乘法不需要是可交换的（a x b = b x a），但在许多最常见的环中，乘法是可交换的，这些被称为可交换环。

示例 1.2：您可能使用过的最常见的环是标准加法和乘法下的整数集 ℤ。这是一个交换环。类似地，所有具有整数系数的多项式的集合 - ℤ[ x ] - 是一个交换环。非交换环的一个例子是标准矩阵加法和乘法运算符下所有具有实数条目的 2 x 2 矩阵的集合。

当然，环作为一种结构似乎很弱，因为不需要乘法逆。所以如果我们添加这个要求，我们可以生成一个更强大的代数结构。

定义 1.3：域是一个交换环F，它的乘法恒等式 1 不同于加法恒等式 0，并且F中除 0 之外的每个元素都存在乘法逆元。

示例 1.4：听起来很熟悉？它应该，因为添加这个额外的条件可以让我们根据代数“紧密度”来区分不同的数字集。我们现在可以看到 ℤ 和 ℚ（所有有理数的集合）或 ℝ（所有实数的集合）之间的区别。三个都是环，但只有后两个是场。另外，不要误以为场一定是无限的。最小的域——伽罗瓦域 GF[2] ——只有两个元素。你可能更了解它作为二进制字段。它由一个 1 和一个 0 组成，其中加法运算是 OR（更准确地说是 XOR），乘法运算是 AND。

这里有一些关于场的有趣事实和结果——主要是为了帮助我回到我关于希腊几何的原始观点而选择的。如果您热衷于探索这个领域并找到重要的证据，那么我会推荐这本书。

事实 2.1：域可以扩展到更大的域，其中扩展的程度相当于作为较小域上的向量空间的较大域的维数。

示例 2.2：所有复数是所有实数的域扩展。扩展的次数是 2，因为所有复数都可以形成为实数的对偶。

事实 2.3：在有限度域扩展链中，扩展的度数是乘法的。也就是说，如果J、K和L是域扩展链，其中L对K 的度数为s，而K对 J 的度数为t ，则L对J的度数为st。

与多项式根的理解相关的字段和子字段的常见早期使用。

事实 2.4.1：如果J是K的子域，那么K的元素 ⍺被称为J 上的代数如果它是J [ x ]中多项式的根（所有有限次多项式的集合及其所有J中的系数）。否则 ⍺ 被称为超越于 J。

事实 2.4.2：J [ x ]中的多项式f具有最低可能的次数，使得K中的 ⍺ 是f的根，称为J 上的不可约多项式。这种多项式的次数等于K在J上的域扩展的次数。

示例 2.5： ∛2 是ℚ 上的代数，其不可约多项式是x³﹣2，因此根据事实 2.4.2，∛2 位于ℚ 上的 3 次域扩展。

好吧，我们知道用圆规和直尺可以做的事情是有限的。因此，让我们首先定义这些限制。

定义 3.1：给定笛卡尔空间中的两个点，我们可以定义构造规则如下：

通过这两个点的任何直线都是有效的构造。

任何以一点为中心但与另一点相交的圆都是有效的构造。

有效结构的任何交点都是有效结构。

您可以使用这些规则做很多事情。通过有限的步骤，您可以构造平行线、平分角（参见下面的示例）或找到线的中点。您可能还记得在学校被教导如何做这些事情。

定义 3.2：使用这些规则，如果从笛卡尔空间中的一条单位线开始，您可以使用圆规和直边在有限数量的有效构造步骤中构造一条长度为q 的线，则我们可以称数q为可构造的。

事实 3.3：您可以证明所有可构造数的集合在标准加法和乘法下形成一个域（参见此处），由此得出的一个简单推论是所有有理数都是可构造的。

现在这就是我们上面关于字段的事实派上用场的地方。首先我们注意到，通过坐标为ℚ的两点构成的任何直线都是ℚ上的1次多项式，类似地，任何以ℚ为圆心并与ℚ中的另一点相交的圆都是ℚ上的2次多项式. 从这里可以证明两个重要的事实：

事实 3.4：对于任意两条系数为 ℚ 的直线，它们的交点也在 ℚ 中。（这应该是显而易见的）。

事实 3.5：对于系数为 ℚ 的一条线和一个圆或两个圆，它们的交点必须位于 ℚ 上最多 2 度的场扩展中。（这通过将一个方程式代入另一个方程式来显示）。

事实 3.6：从上面的事实 3.4 和 3.5 可以看出，对于某个有限正整数k，任何可构造的数字都必须位于 2 ᵏ超过 ℚ的域中，因为每个构造步骤必须将 ℚ 扩展 1 或 2 度（事实 3.5）并且由于字段扩展是乘法的（事实 2.3）。

（请注意，此推论是所有可构造的数字都是 ℚ 上的代数。）

现在我们可以证明希腊人试做的事情确实是不可能的：

事实 3.7：使用圆规和直尺在有限的步数内不可能将单位立方体加倍。要加倍单位立方体，我们需要知道 ∛2 是可构造的。但是我们在示例 2.6 中观察到，这存在于 3 次的域扩展中，因此它不能由事实 3.6 构造。

事实 3.8：使用圆规和直尺在有限的步数内不可能将单位半径的圆平方。平方圆需要证明√π是可构造的，相当于证明π是可构造的。但林德曼在 1882 年证明了π在 ℚ 上是超越的——这意味着不存在以π为根的 ℚ 中系数的有限次多项式。因此π位于 ℚ 无限度的域扩展中，因此根据事实 3.6 π不可构造。

我个人认为抽象代数和古希腊几何之间的这种既美丽又鼓舞人心。我希望你也这样做。如果你有兴趣玩弄它，你可以尝试证明其他一些不可能的结构。例如，虽然上面显示了如何平分任何角，但请尝试证明不可能将60 度角平分。（提示：寻找一个可以用cos θ 表示 cos 3θ 的方程，然后看看本文中的逻辑是什么）。

你如何看待代数和经典几何之间的这种？请随时发表评论。

画石头和岩石

石头和岩石等矿物是继树木之后最常见的自然物体。这很少是主要的事情，但如果你正在绘制背景，如果你不滚动一两个，有时会很不自然。

就是这么一块石头或石头，但为什么不试着先把石头或石头画出来，形状变得不自然，或者你不能很好地画阴影呢？这一次，我将解释如何通过可怕的咀嚼来绘制这些石头和岩石。

读取形状

如果不阅读形状，您将无法绘制任何东西。首先，我将解释石头和岩石的形状（轮廓）。关于石头和岩石的形状基本上没有规则。有些是圆形的，有些是有角的。

然而，当涉及到用插绘画时，故事就会发生变化。您认为哪种形状适合快速浏览以将其识别为石头？

我们来看一个简单的线条画。哪个感觉更接近石头或岩石？它看起来不像是有棱角的吗？圆圆的时候我也像个土豆。换句话说，如果石头和岩石尽可能脆，则更容易识别它们。

随机性对于自然物体很重要，但是石头和岩石呢？

看起来有点嘎嘎作响的线比直线好，但它似乎没有那么重要。看来，对于石头和岩石来说，重要的是如何添加阴影和纹理。

石头和岩石的质地是什么？

实际拿起石头检查和查看纹理会更快。有些具有类似噪声的质地，看起来像是细颗粒的混合物，而另一些则具有类似矿物的质地。我不能说哪个更好，但是通过正确描述这种纹理，可以使插中的石头和岩石更接近实物。

然而，这样的纹理不可能一蹴而就。因此，推荐的方法是应用石头和岩石等纹理。石头和岩石有许多免费的纹理，因此您可以从中选择并将它们应用到您绘制的石头和岩石上。

这是纹理的示例。此方法在有关如何绘制的部分中进行了说明。

如何画石头和岩石 程序和制作

以雅达利为例

首先，拿雅达利。让我们一边思考什么样的石头和岩石是好的一边画画。这次我将在上面的线条中画一个略带棱角的石头。

打好基础

打好基础。稍后会用橡皮擦修正轮廓，让它有一种随意的感觉，所以不要管它，从阴影开始。

拿影子雅达利

可能很难理解阴影是如何形成的，所以我会以某种方式在石头上画一个雅达利并想象它。（就算比较合适也没问题）

绘制阴影和高光

确定好光源后，用可以用毛笔或记号笔等厚颜料画的画笔画出阴影和高光。如果您想象之前绘制的框，就很容易理解阴影和高光的位置。诀窍不是绘制高光和阴影，而是用产生适度不均匀的像来绘制它们。

把颠簸

绘画的方法是想象如何给盒子上色。盒子最受光照射的表面很亮，与该表面接触的部分往往很暗。

如果您喜欢，请尝试添加一些颠簸。这也不奇怪。画悬崖的时候，奇怪的是两边都是光滑的，所以要尽力而为，磕磕碰碰。这次我投入的不多。

强调明亮的区域

切换到铅笔工具以突出高光表面最亮的部分。盒子的末端很亮，不是吗？那就是像。

裂缝

石头和岩石可能会破裂。如有必要，请使用铅笔工具或记号笔添加。对于裂缝，使用最深的阴影颜色，让它像胡须一样爬行。如果它破裂，它会突出显示，所以不要忘记添加它。

使涂层不均匀

我们将在每个表面上干净地涂抹凹凸。如果你仔细看，它很脏，但如果它从远处看起来很漂亮，那没关系，所以让我们尝试一下，用记号笔给它涂上颜色。由于这里的结果，质量会有差异，所以我会尽我所能，直到我满意为止。

用橡皮擦刮

岩石和石头的轮廓用橡皮擦擦除，在刮擦时产生随意的感觉。

强调阴影

这次倒不是很在意，但是如果把石头挖得很深，还是要更加强调阴影。用铅笔将颜色放在最暗的地方，然后用水彩笔将其模糊以混合。这时候新建一个层，用乘法绘制。

应用纹理

最后，应用纹理。你不必这样做。只需使用剪贴蒙版在其上放置诸如岩石之类的纹理，并使其成为乘法、叠加、减淡等。让我们通过玩它来调整透明度。