相关分析是我们常常用到的衡量两组配对数据之间关系的方法，其本质就是对两组配对数据建立回归模型。但是，当两组配对数据是时间序列数据时，需要格外留意伪回归问题。

如果在网上查找有关时间序列伪回归的解释，经常会看到几种例子：

犯罪率、冰淇淋销量和儿童溺水率（案例1）：人们发现，犯罪率、冰淇淋销量和儿童溺水率似乎有很强的相关性。犯罪率比较高时，冰淇淋销量和儿童溺水率都会比较高；犯罪率低时，冰淇淋销量和儿童溺水率也都会比较低。

树高与身高（案例2）：假设一家门口有一棵树，家中有一个孩子，每年测量树高和孩子身高。对二者做相关分析，发现这二者呈现显著正相关。

还会有一些其他例子，可以参见知乎的一篇文章[1]。这篇文章明确地对这些不同案例做了分类，指出了它们虽然都是伪回归，但是伪回归的来源并不相同。第一种是由于干扰因素导致的伪回归，包括了案例1、案例2等；另一种是由于局部随机趋势导致的，即那篇文章中提到的居民消费与鸬鹚个数、随机布朗运动的两个案例。我非常认同这两种不同来源的伪回归。

那在统计学上，为什么会出现伪回归？众多资料给出的解释基本都是相同的，它也确实有统计学依据：对两个非平稳时间序列做相关分析，就容易发现伪回归。如果仔细去看以上这些案例，它们都符合：数据是非平稳时间序列，且都存在伪回归问题。

这样一想，这些案例确实都很能直观地说明伪回归现象。但是，这些案例似乎都没有命中靶心。

我们先看看统计学上是如何避免伪回归问题的，那篇文章[1]中也说明了：如果两个非平稳时间序列可以满足协整关系，那就可以避免伪回归问题。这里的协整关系是指，两个时间序列的某种线性组合（残差序列）满足平稳性。

然后我们重新去看这几种伪回归案例：

干扰因素导致伪回归

我们以树高和身高为例。或许完美数据最能说明问题，因此我们考虑一种无随机因素的情况，树高和身高都是时间的一次函数，分别记作和：

那么我们自然有

二者的线性组合为常数，显然二者满足协整关系。既然二者满足协整，它们之间就原则上不存在伪回归问题。

局部随机趋势导致伪回归

我们考虑如下两个序列（图1）。假设其中灰色区域是我们采样得到的部分，其他区域是真实存在但没有采样得到的部分。

纵观整个序列，二者无明显相关性。但在灰色采样区域，我们得到显著相关性。可是在这个区域内，二者严格平行，二者之差恒为常数，显然满足协整关系。既然二者满足协整，它们之间就理应不存在伪回归问题。

因此，我们所说的以上两个伪回归案例，在统计学上似乎并没有伪回归问题。之所以会出现这个矛盾，问题就在于，此伪回归非彼伪回归。

我建议我们先理清统计学上所说的伪回归，即与协整对应的伪回归到底是什么。

在教材中，我们看到伪回归的数理统计原理在于，残差不平稳时，统计量不再服从t分布[2]，或者说，非平稳导致回归系数实际方差较大，估计不准确[3]；但如果我们没有注意到这一点，仍然沿用了平稳假设时的分布，我们就会误认为它的估计是准确的。

也就是说，统计学上对应协整关系的伪回归仅仅是回归模型不准，其本质在于具有非平稳时间结构的数据不满足相关分析或者回归模型的前提假设。

现在我们回过头来再次考虑两个案例。

在树高和小孩身高的理想案例中，二者是协整的，回归模型的估计是无疑准确的，并不存在什么伪回归。那如何解释例子的“伪回归”？这是典型的“相关关系不代表因果关系”。树高是时间的函数，身高也是时间的函数，这就是变量C同时影响变量A和B，导致A和B看起来相关的典型案例。

在局部随机趋势的理想案例中，我们很容易地构造出了两个特殊的时序曲线，它们在局部呈现相关性，同时满足协整。如何解释这个例子？由于采样的部分只是实际序列的一个小局部，采样区间不能有效代表总体，因此统计结果不符合实际情况。这是采样偏差导致的结果不准确。

总结

在网上很多地方都可以查到关于伪回归的解释。通过以上讨论，我愿意把这称作“广义伪回归”，即回归模型、相关系数“统计显著”，但它们并不符合两个或以上多个时间序列之间真实的相互关系。具体而言，“广义伪回归”依次包括了至少三种情况，它们分别发生在一项研究的不同步骤中，因此也可以共同导致所谓“伪回归”：

一、采样时：采样偏差导致样本不能代表总体

二、统计时：数据不满足统计方法的前提假设

这就是“狭义伪回归”。仅这类伪回归可以通过序列间协整来避免。

三、解释时：相关关系被曲解为直接因果关系

参考文献和资料：

[1] 石川 (2019). 小心伪回归发现的假关系. https://zhuanlan.zhihu.com/p/38755022[2] 王燕 (2015). 时间序列分析——基于R. 北京: 中国人民大学出版社, p204.[3] 沂玹 (2020). “如何通俗的解释伪回归”的回答. https://www.zhihu.com/question/57020616/answer/1281412819