高等数学期末总复习DAY18.常数项级数、正项级数、交错级数、绝对收敛 |
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DAY18.
明天结束了 文章目录 DAY18.常数项级数正项级数交错级数绝对收敛 常数项级数要清楚一个概念,以前我们学的数列和级数是两个不一样的概念,级数是求和的概念 Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n =1}^{\infty} U_n Σn=1∞Un 求和 判断常数项级数是否收敛或发散当 S n → s , n → ∞ S_n \to s , n \to \infty Sn→s,n→∞则称该常数项级数收敛 当 Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n =1}^{\infty} U_n Σn=1∞Un收敛,则 lim n → ∞ U n = 0 \lim_{n \to \infty}U_n = 0 limn→∞Un=0 (逆否命题也成立) 常用的常数项级数Σ n = 1 ∞ a q n { ∣ q ∣ < 1 收 敛 ∣ q ∣ ⩾ 1 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} a q^{n} \begin{cases} |q| \lt 1 收敛 \\ |q| \geqslant 1 发散\end{cases} Σn=1∞aqn{∣q∣ 1 收 敛 0 < p < 1 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases} p >1收敛\\ 0 < p < 1 发散\end{cases} Σn=1∞np1{p>1收敛0P1发散 交错级数Σ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 U n = U 1 − U 2 + U 3 . . . . . . \Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n = U_1 - U_2 + U_3 ...... Σn=1∞(−1)n−1Un=U1−U2+U3...... 解题一般使用莱布尼茨定理 分两步 若 U n 是 递 减 的 级 数 即 U n > U n + 1 U_n 是递减的级数即 U_n > U_{n+1} Un是递减的级数即Un>Un+1 U n → 0 , u → 0 U_n \to 0 ,u \to 0 Un→0,u→0则 Σ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 U n 收 敛 \Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n收敛 Σn=1∞(−1)n−1Un收敛 绝对收敛Σ n = 1 ∞ U n 若 Σ n = 1 ∞ ∣ U n ∣ \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n| Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣收敛,则原级数一定收敛,称为绝对收敛 Σ n = 1 ∞ U n 若 Σ n = 1 ∞ ∣ U n ∣ \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n| Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣不收敛,但 Σ n = 1 ∞ U n \Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n Σn=1∞Un收敛,称为条件收敛 例题 判断下列级数的收敛性 1 1 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 5 + . . . + 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) + . . . \frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + ... 1⋅31+3⋅51+...+(2n−1)(2n+1)1+... 解:原式等于 S n = 1 2 ( 1 − 1 3 ) + 1 2 ( 1 3 − 1 5 ) + . . . + 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+...+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) Sn=21(1−31)+21(31−51)+...+21(2n−11−2n+11) S n = 1 2 ( 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + . . . + 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}) Sn=21(1−31+31−51+...+2n−11−2n+11) S n = 1 2 ( 1 − 1 2 n + 1 ) S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1}) Sn=21(1−2n+11) 则 lim n → ∞ S n = 1 2 \lim_{n\to \infty} S_n = \frac{1}{2} limn→∞Sn=21 用到了常数项级数判断定理的第一点 即原级数收敛 例题2 1 + 1 + 2 1 + 2 2 + 1 + 3 1 + 3 2 + . . . + 1 + n 1 + n 2 + . . . 1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+...+\frac{1+n}{1+n^2}+... 1+1+221+2+1+321+3+...+1+n21+n+... 解: U n = 1 + n 1 + n 2 U_n = \frac{1+n}{1+n^2} Un=1+n21+n 而 U n = 1 + n 1 + n 2 > 1 + n n + n 2 = 1 n U_n = \frac{1+n}{1+n^2}>\frac{1+n}{n+n^2}= \frac{1}{n} Un=1+n21+n>n+n21+n=n1 又因为 Σ n = 1 ∞ 1 n 为 调 和 级 数 发 散 \Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 为调和级数发散 Σn=1∞n1为调和级数发散 根据比较审敛法的第一点则原级数 U n = 1 + n 1 + n 2 U_n = \frac{1+n}{1+n^2} Un=1+n21+n也发散 例题3 1 4 1 ! + 2 4 2 ! + . . . + n 4 n ! + . . . \frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+...+\frac{n^4}{n!}+... 1!14+2!24+...+n!n4+... 解: lim n → ∞ U n + 1 U n = ( n + 1 ) 4 ( n + 1 ) ! / n 4 n ! \lim_{n \to \infty}\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{(n+1)^4}{(n+1)!}/\frac{n^4}{n!} limn→∞UnUn+1=(n+1)!(n+1)4/n!n4 = lim n → ∞ ( n + 1 ) 4 n 4 ⋅ n ! ( n + 1 ) ! =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^4}{n^4} · \frac{n!}{(n+1)!} =limn→∞n4(n+1)4⋅(n+1)!n! = lim n → ∞ 1 n + 1 → 0 =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} \to 0 =limn→∞n+11→0 又因为0 |
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