【代数2】线性映射 |
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线性映射
线性映射的概念
线性映射(linear mapping)
U,V是数域F上的线性空间，且$ \mathscr A:U\to V $ 是映射，如果该映射满足以下两条，那么这个映射是 线性映射：
$ \forall a_1,a_2\in U,\mathscr A(a_1+a_2)=\mathscr A(a_1)+\mathscr A(a_2) $
$ \forall a\in U,\lambda \in F,\mathscr A(\lambda a)=\lambda\mathscr A(a) $
线性变换(linear transformation)
如果$ \mathscr A:V\to V $是线性映射，叫做 线性变换
以下是线性映射的一些例子： $\mathscr A: F^{n\times 1} \to F^{m\times 1}$，这种情况下，一定可以用矩阵乘法实现$\mathscr A: X \to AX$（TH） V是F上的线性空间，$a_1,a_2,…,a_n \in V,\mathscr A: F^{n\times 1} \to V,(x_1,x_2,…,x_n)\to x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n$是线性映射（注意，可能是多对一映射） V是F上的线性空间，$a_1,a_2,…,a_n \in V$是一组基,$\mathscr A: V \to F^{n\times 1}, x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n \to (x_1,x_2,…,x_n)$ 是线性映射 线性映射 和 同态映射 是同一个概念，其中 可逆的 线性映射 是 同构映射 $n>m,\mathscr A:F^n \to F^m,(x_1,…,x_m,…,x_n)\to (x_1,…,x_m)$是线性映射叫做 投影（projection），$n>m,\mathscr A:F^m \to F^n,(x_1,…,x_m)\to (x_1,…,x_m,0,…,0)$是线性映射叫做 嵌入（embedding） 多项式求导数的操作是线性变换 $P\in F^{m\times m},Q\in F^{n\times n}, \mathscr A F^{m\times n}\to F^{m\times n},X\to PXQ$是线性变换TH 可逆的线性变换把直线映射成直线，直线段映射成直线段，平行线映射成平行线 把0向量映射到0向量，负向量映射到负向量 $a_1,a_2,…,a_n$线性相关，则$\mathscr A (a_1),\mathscr A (a_2),…,\mathscr A (a_n)$线性相关 $\mathscr A (a_1),\mathscr A (a_2),…,\mathscr A (a_n)$线性无关，则$a_1,a_2,…,a_n$线性无关 线性映射的矩阵U,V是F上的有限维线性空间，基分别是$M1=(a_1,a_2,…,a_n),M2=(b_1,b_2,…,b_m)$ $\forall a\in U,b\in V$ 有线性映射$\mathscr A: U\to V$ 显然$\exists A_j,\mathscr A(a_j)=(b_1,b_2,…,b_m)A_j$ 那么$\mathscr A(a_1,a_2,…,a_n)=(b_1,b_2,…,b_m)A$ 这里的A称作 $\mathscr A$在基$M_1,M_2$下的矩阵（matrix of $\mathscr A$ with respect to bases $M_1,M_2$） $\forall a \in U,b=\mathscr A(a)\in V$，a,b都可以用各自空间中的基线性表示， 我们知道\(a=(a_1,a_2,...,a_n)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\...\\x_n \end{array}\right),b=(b_1,b_2,...,b_n)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\...\\y_n \end{array}\right)\) 就有这个结论： \(\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\...\\y_n \end{array}\right)=A \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\...\\x_n \end{array}\right)\) TH U,V是F上的线性空间，$M=(a_1,a_2,…,a_n)$是U的一组基,且U是n维的，$(b_1,b_2,…,b_n)$是V上的任意n个向量，那么存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,…,a_n$映射到$b_1,b_2,…,b_n$ 推论：U,V是F上的线性空间,且U是n维的，$M=(a_1,a_2,…,a_k)$是U的一组线性无关向量，$(b_1,b_2,…,b_n)$是V上的任意k个向量，那么， 如果k=n存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,…,a_n$映射到$b_1,b_2,…,b_n$ 如果k |
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