《线性代数应该这样学》概念树 |
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绝大数的线性代数书都是用行列式来证明有限维复向量空间上的线性算子都有本征值。但是行列式既难懂又不直观，而且其定义的引入也往往缺乏动机。 定义行列式 => 线性映射不可逆 => 定义特征多项式 而本书的证明没有用行列式，把行列式放到最后，开辟了一条通向线性代数的主要目标——理解线性算子结构的新路径。 核心术语：向量空间、子空间、线性映射、矩阵、基、本征向量、内积、正交、范数、投影 第一章 向量空间 复数、域、F^n 实数（R）到复数（C）的算术性质的推导 域（F）：例如实数或复数，本书中可以把F当做任意域 标量（scalar）：强调是数而不是向量 组（list） 长度（length）：组的长度是有限的 组的元素是有序的，这和集合不同 F^n：长度为n的组的集合 自我引申：(错误) 一维向量就是元素为标量的组 二维向量就是元素为一维向量的组 三维向量就是元素为二维向量的组 以此类推。。。 上面这种应该称作“高阶向量空间”，而不是“多维向量空间” “多维向量空间”是组的长度大于3，组的元素是F 定义0：长度为n，且所有坐标都是0。 猜想：这里的0可以代表标量0或者向量0。 向量空间（V） 定义（要满足的性质）（学会证明） 加法交换性 加法结合性 加法单位元 加法逆元 乘法单位元 乘法逆元(没有?) 加法和乘法结合的分配性质 向量空间的元素是向量(vector)，也称作点(point) 向量也就是F^n定义中的组 实向量空间、复向量空间 域(F)上函数(f)的集合: let F^S = f(x: S) -> F where S 是集合(未定义) 定义 加法分配性质 标量乘法的结合性质 向量空间的性质 加法单位元唯一 加法逆元唯一 -v, w-v (自创：用@代表向量0) 0v = @ a@ = @ (-1)@ = -@ 子空间（U） 满足条件：（学会证明） 加法单位元 加法封闭性 标量乘法封闭性 子空间的和 直和 子集的和 最小子空间 子空间的直和 定义 空间V的子空间相加，前提是“直和空间”的每个元素可以唯一地表示成这些给定子空间中元素的和 子空间的直和也是一个集合 确定子空间的和是否为直和时，只需考虑0是否可以唯一地写成一个适当的和 两个子空间的直和：两个子空间的交集是{0} 猜想：多个子空间的和是直和，当且仅当这些子空间的两两交集是{0}，即“正交”子空间 猜想：当且仅当所有子空间的交集是{0} 猜想：向量空间V的秩（rank，维度的数量），和子空间的数目相等 第二章 有限维向量空间 张成空间 向量组：向量组的元素是第一章讲的组或其他向量空间的元素（也是向量，不过域不同） 线性组合：和实数的线性组合相比，系数是域F的元素 张成空间：向量空间V中一组向量的所有线性组合所构成的集合span(v1,...,vm)，同时这组向量称为张成组 向量空间V的张成空间，是包含这组向量的最小子空间 若span(v1,...,vm)等于W，称这组向量张成W 有限维的：某个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成 无限维的： 无限维的向量空间存在吗？如果存在说明什么？ 多项式：let p(x: F) -> F：系数、变量、多项式和都是域F的元素的多项式 P(F) 是系数属于F的全体多项式所组成的集合 个人推论：有限维向量空间的张成组是P(F)的一个元素 P(F)是F上的向量空间 多项式的次数 deg p = m 恒等于域零值的多项式的次数为 “负无穷小” Pm(F)：次数不超过m的所有多项式集合 线性无关 定义：使得向量空间V的一组向量的线性组合为0，当只有所有系数全部为0才能满足的时候，称这组向量是线性无关的；空组（）是线性无关的 这组向量称为线性无关组 线性相关： 引理： 线性相关的向量组的某个向量可以由剩余向量张成 线性相关的向量组，去掉某个向量后，张成空间不变 在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于等于向量空间的每个张成组的长度 有限维子空间：有限维向量空间的子空间都是有限维的 基(basis) 若向量空间V的一个向量组既线性无关又张成V，则成为V的基 标准基： 证明：向量空间的每个向量v都能唯一地表示成基的线性组合 向量空间中，每个张成组都可以化简成一个基 每个有限维向量空间都有基 有限维定义：有张成组 张成组都可以化简成基 在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基 有限维向量空间V的每个子空间都是V的直和项 维数(dimension) 有限维向量空间的任意两个基的长度都相等 有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维度，记作`dim Vg 若V是有限维的，U是V的子空间，则dim U W 定义（变量是向量，针对某个线性映射，定义域是向量空间） 加性 齐性 记法：Tv或T(v) L(V, W)：从V到W的所有线性映射的集合 特殊的线性映射 零映射：可能表示一个V到W的映射，一个V的加法单位元，一个域F零值 恒等(identity)（映射单位元，类似于乘法单位元） I：一个向量通过映射作用到自身 微分(differentiation) D：Dp = p' 积分(integration)： 乘以x^2 向后位移 三维到二维 n维到m维 两个同维线性空间的两个基的映射的存在性与唯一性 线性映射本身（变量是线性映射，对所有的向量成立，定义域是线性映射集）: 代数运算 加法 标量乘法 根据上述运算，线性映射集是向量空间 线性映射的乘积 乘法结合性（改变结合顺序） 乘法单位元 乘法没有交换性 加法和乘法结合的分配性质 T(0) = 0 零空间与值域 零空间(null T)：对某个线性映射，结果向量为零向量的自变向量的集合 零空间是自变向量空间V的子空间 单的（一对一的） 单射性等价于零空间为{0} ? 值域（range T） 如果值域等于W，则称T为满的 线性映射基本定理 dim V = dim (null T) + dim (range T) 到更小维数向量空间的线性映射不是单的 到更大维数向量空间的线性映射不是满的 当变量多于方程时，齐次线性方程组必有非零解 齐次是指每个方程右端的常数项都等于0 当方程多于变量时，必有一组常数项使得相应的非齐次线性方程组无解 矩阵 矩阵的定义：Aj,k 表示第j行第k列处的元素 线性映射的矩阵 M(T) 定义略 矩阵运算的定义 V、W是有限维，假设已取定的两组基，则对于L(V, W)的每个元素（线性映射），都可以谈论它的矩阵 矩阵加法：元素相加 线性映射的和的矩阵等于线性映射的矩阵的和 矩阵的标量乘法：分别乘以每个元素 线性映射的矩阵与标量的乘法：线性映射乘以标量lambda的矩阵等于线性映射的矩阵与标量lambda相乘 F^(m, n)：元素取自F的所有m×n矩阵的集合 dim F^(m,n) = mn 矩阵乘法 定义：使得线性映射乘法的矩阵具有分配性质 不具有交换律 然后，线性映射乘法的矩阵具有了分配性质 矩阵乘积的元素等于行乘以列 可逆性与同构的向量空间 可逆、逆：两个线性映射乘积是恒等映射，交换后的乘积是另外一个矢量空间的恒等映射 注意：线性映射乘法本身没有交换律；这里的两个恒等映射不是指同一个。 可逆的线性映射有唯一的逆 逆记为T^(-1) 一个线性映射是可逆的，当且仅当它是单的又是满的 同构，同构的 同构就是可逆的线性映射 若两个向量空间之间存在一个同构，则称这两个向量空间是同构的 F上两个有限维向量空同构，当且仅当其维数相同 L(V, W) 与 F^(m, n) 同构 将线性映射视为矩阵乘 向量v关于某个基的矩阵 M(v) 是n×1的矩阵 M(T).,k = M(Tvk)：从V到W的某个线性映射T的矩阵的第k列，等于第k个基vk做线性映射T后的矩阵 线性映射的矩阵、向量的矩阵、矩阵乘法的联系 M(Tv) = M(T)M(v) 算子（operator） 定义：向量空间到其自身的线性映射 L(V) 表示 V 上全体算子所组成的集合 单或满都不蕴含可逆 然而，在有限维情况下，算子的单性等价于满性 向量空间的积与商 向量空间的积 积的定义 向量空间的元素的域相同 向量空间的积是各空间的向量组成的向量 积的加法 各个元素向量分别相加 积的标量乘法 标量乘以各个元素向量 向量空间的积是向量空间 有限维向量空间的积是有限维的；积的维数等于维数的和：dim(V1×...×Vm) = dim V1 + ... + dim Vm 积与直和 向量空间的 一些子空间 的积到他们的和的映射：T(u1, ..., um) = u1 + ... + um, 则子空间的和是直和，当且仅当映射T是单射 向量空间的商 仿射子集：v + U = {v+u: u 属于 U，U是V的子空间，v属于空间V}：对子空间向量做“移动”操作（向量v代表移动） 平行：仿射子集v+U平行于U 商的定义 平行于子空间U的仿射子集的集合 V/U = {v+U: v属于V} “向量空间V与子空间U的商” 平行于U的两个仿射子集或相等或不相交 商空间V/U商的加法和标量乘法 定义 加法：(v+U) + (w+U) = (v+w)+U 乘法：`c(v+U) = cv + U 根据上述定义，商空间是向量空间 商映射π：从向量空间V到商空间V/U的映射 dim V/U = dim V - dim U T~ 对偶 映到标量域F的线性映射叫线性泛函 对偶空间 V' = L(V, F) dim V' = dim V 对偶基：对偶空间里的线性泛函对某个基vk的映射的结果是1，当且仅当这个线性泛函的序号等于k 对偶基是对偶空间的基 对偶基是相对于线性空间V的某组基来说的 对偶映射：T 的对偶映射 T' 属于 {L(W', V'): T属于L(V, W)} 满足 T'(W'的某个基x) = 线性映射x 和 T 的复合 代数性质 加法 和标量乘法 和线性映射乘法 零空间：零化子 U^0 零化子是对偶空间的子空间 dim U + dim U^0 = dim V 对偶映射T’的零空间 null T' = (range T)^0 dim null T' = dim null T + dim W - dim V T是满的等价于T’是单的 值域 线性映射和它的对偶映射两者的值域维度相同 对偶映射的值域等于原线性映射的零空间的零化子 T是单的等价于T’是满的 对偶映射的矩阵 转置矩阵 A^t 矩阵乘积的转置等于转置矩阵的乘积 对偶映射的矩阵是原线性映射的矩阵的转置 行秩、列秩：矩阵的各行、列在“同形”矩阵集合中的张成空间的维数 线性映射T的值域的维数等于T的矩阵的列秩 行秩等于列秩 第四章 多项式 复共轭与绝对值 实部（real part），虚部（imaginary part） 复共轭，绝对值 复数和它的复共轭的和、差、积 复共轭的可加性、可乘性 共轭的共轭就是本身 实部和虚部有界于绝对值 复共轭的绝对值 绝对值的可乘性 三角不等式 多项式系数的唯一性 系数在F中的多项式p 若多项式是零函数，则系数一定全部为0 多项式p是m次的：deg p = m 规定多项式0的次数为负无穷 多项式的带余除法 p, s, q, r 属于自变量域为F的所有多项式构成的向量空间，使得p = sq + r 且 deg r < deg s 多项式的零点 多项式零点：使得多项式结果为0 因式：两个因式相乘等于多项式p 多项式的每个零点对应一个一次因式 多项式零点的个数不超过它的次数 复数域C上的多项式分解 代数学基本定理：每个非常数的复系数多项式都有零点 非常数多项式p可以唯一分解成m个一次因子与一个常数c的乘积 实数域R上的多项式分解 实系数多项式可能没有实的零点 实系数多项式的非实零点是成对出现的，而且共轭 二次多项式的分解：当且仅当 b^2 > 4ac 才有实数解 R上多项式可分解为一个常数、m个实数解因子、M个复数解的二次因子相乘 第五章 本征值、本征向量、不变子空间第三章研究是一个向量空间到另一个向量空间的线性映射，这章研究有限维向量到其自身的线性映射。 学习目标 不变子空间 本征值、本征向量、本征空间 有限维复向量空间上的每个算子均有本征值，并且关于某个基有上三角矩阵 不变子空间 只考虑T把V的直和子空间映到自身的分解 一维不变子空间 标量a使得Tv=av 称a为T的本征值（eigenvalue） T有一维不变子空间当且仅当T有本征值 本征值的等价条件（略） a是T的本征值 T-aI 不是单的 T-aI 不是满的 T-aI 不是可逆的 非零向量v是T相应于a的本征向量 向量空间V的某个线性映射的互不相同的本征值相应的本征向量是线性无关的 设V是有限维的，则V上的每个算子最多有 dim V 个互不相同的本征值 限制算子与商算子 限制算子：V的某个线性变换对某个不变子空间U的变换。即缩小了线性变换T的定义域到不变子空间U。 商算子：T/U 属于 L(V/U) 且 (T/U)(v+U) = Tv + U 本征向量与上三角矩阵 算子理论要比线性映射理论更丰富，主要因为算子能自乘为幂，也就可以把多项式作用于算子 算子的幂 T^m = m个T相乘 定义m为0时T^0为恒等算子I T^(-m) = (T^-1)^m 线性映射的多项式 定义：0到m次幂的线性组合 多项式的积 (pq)(z) = p(z)q(z) 其中 z 属于 F 把上面z替换成算子T后的性质 (pq)(T) = p(T)q(T)：因为分配性质把多项式展开时的自变量无关性 p(T)q(T) = q(T)p(T)：因为多项式值（属于F）的交换性质 有限维非零复向量空间上的每个算子都有本征值 上三角矩阵 算子T的矩阵 依赖于基的选取，故这个矩阵是针对某个T的 记作M(T)或M(T, (v1, ..., vn)) 矩阵的对角线 上三角矩阵：对角线下方元素全为0 T关于有限维复向量空间的某个基都有上三角矩阵 T 属于 L(V) 关于V的某个基有上三角矩阵，则T是可逆的，当且仅当这个上三角矩阵对角线上的元素都不是0 从上三角矩阵确定本征值：算子T关于V的某个基有上三角矩阵，则T的本征值恰为这个上三角矩阵对角线上的元素 本征空间与对角矩阵 对角矩阵：除对角线外的元素全都是0的方阵 T的相应于域值a的本征空间E(a, T) = null(T - aI)? 本征空间是V的子空间 a是T的本征值，当且仅当本征空间不等于{0} 本征空间是T相应于a的全体本征向量加上0构成的集合 本征空间之和是直和 可对角化：如果算子T关于V的某个基有对角矩阵 可对角化的等价条件 T可对角化 V有由T的本征向量构成的基 V有在T下不变的一系列一维子空间使得V等于它们的直和 V等于m个本征空间的直和 V的维度等于m个本征空间的维度之和 有 dim V 个互异的本征值，则T可对角化 第六章 内积空间 学习目标 柯西-施瓦茨不等式 格拉姆-施密特过程 内积空间上的线性泛函 计算到子空间的最小距离 内积与范数 范数：向量x的长度，记为 ||x|| 点积：x·y = x和y各维上向量的乘积之和，代表点 内积 是对点积性质的抽象化 内积是一个函数，把V中元素的每个有序对(u, v)映射成一个数 属于 F 内积的性质 自身内积的正性 定性：仅当v为0时，自身内积为0 第一个位置加性 第一个位置齐性 共轭对称性 内积空间 定义：就是带有内积的向量空间V 性质 将v变为内积的函数是映射 T(V, F) 0 与任何向量的内积都为 0 内积的第二个位置加性 内积的第二个位置的齐性（标量取共轭值） 范数：定义为内积的平方根 范数的基本性质 仅当v为0时，范数为0 标量乘法的齐性 正交：两个向量正交，那么他们内积为0 0 与任何向量正交 0是唯一与自身正交的向量 勾股定理 两个正交向量和的内积的平方等于他们的内积平方和 正交分解：u = cv + w, 其中u、v属于V，c、w由u、v决定，且c是标量，w是向量 柯西-施瓦茨不等式 || |
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