线性最小二乘法（附MATLAB代码） |
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线性最小二乘法（附MATLAB代码）
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本文部分转载自优化算法交流地的文字，转载仅作学习使用。 用n次多项式拟合给定数据. 注意:对于非线性曲线,例如指数曲线\(y=a_{1}e^{a_{2}x}\),拟合前需做变量代换,化为对\(a_1,a_2\)的线性函数. 本文主要从如何使用MATLAB实现最小二乘法，首先给出今天重点使用的两个函数。 p=polyfit(x,y,n)：最小二乘法计算拟合多项式系数。x，y为拟合数据向量，要求维度相同，n为拟合多项式次数。返回p向量保存多项式系数，由最高次向最低次排列。y=polyval(p,x)：计算多项式的函数值。返回在x处多项式的值，p为多项式系数，元素按多项式降幂排序。 比如拟合下面这组数据 x=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35]; y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75];先用matlab将这组离散点画出来， plot(x,y,'o')
嗯，大概这个样子，这时我们想使用一次函数拟合上述曲线，可使用以下代码 clear clc x=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35]; y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75]; coefficient=polyfit(x,y,1); %用一次函数拟合曲线，想用几次函数拟合，就把n设成那个数 y1=polyval(coefficient,x); plot(x,y,'o',x,y1,'-')得到的结果是 coefficient=[0.2989,-9.4107]所以得到的一次函数为 y=0.2989*x-9.4107
同理如果用二次函数拟合该曲线，得到的各项系数为 coefficient=[-0.0157 1.0037 -16.2817]所以得到的二次函数为 y=-0.0157*x^2+1.0037*x-16.2817
其他阶数依此类推。 但是使用polyfit(x,y,n)函数有一个注意事项： 向量x(其中元素作为自变量)中不重复的元素个数m，和拟合阶数k需要满足m>=k+1.简单分析：k阶拟合需要确定k+1个未知参数(如1阶拟合y = ax + b需要确定a和b两个参数)，故而至少需要k+1个方程，故而需要至少k+1个不同的已知数对(x，y)，由于函数中x只能对应一个y，故而需要至少k+1个不同的x 举个例子，比如说我们想用9阶多项式拟合上述曲线时，我们发现拟合的曲线是正常的，得到的各项系数也是正常的 
但是当我们用10阶多项式拟合曲线时，此时各项系数如下，得到的曲线如下 
很明显出现了问题，所以使用polyfit(x,y,n)函数时要严格遵守上述事项。 |
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