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数学建模方法
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拟合优度
1. 概念
引用百度百科定义: 拟合优度（Goodness of Fit）是指回归曲线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数（亦称确定系数）R²。R²最大值为1。 规则: R²的值越接近1，说明回归曲线对观测值的拟合程度越好；反之，R²的值越小，说明回归曲线对观测值的拟合程度越差。 总而言之，拟合优度是用于度量拟合曲线对于原始数据拟合效果的好坏，拟合优度 R 2 R^2 R2越接近1说明拟合优度越好，一般来说，拟合优度到达0.8以上就可以说拟合效果不错了。 2. 计算方法设 y y y为待拟合数据，y的均值为 y ‾ \overline{y} y，拟合数据为 y ^ \widehat{y} y ，则: 1. 总平方和 SST(total sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2 i=1∑n(yi−y)2 2. 回归平方和 SSR(regression sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(\widehat{y}_i - \overline{y})^2 i=1∑n(y i−y)2 3. 残差平方和 SSE(error sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_i - \widehat{y}_i)^2 i=1∑n(yi−y i)2 确定系数: R 2 = S S R S S T = 1 − S S E S S T R^2 = \frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST} R2=SSTSSR=1−SSTSSE 3. Python代码 # #################################拟合优度R^2的计算###################################### def __sst(y_no_fitting): """ 计算SST(total sum of squares) 总平方和 :param y_no_predicted: List[int] or array[int] 待拟合的y :return: 总平方和SST """ y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting) s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_no_fitting] sst = sum(s_list) return sst def __ssr(y_fitting, y_no_fitting): """ 计算SSR(regression sum of squares) 回归平方和 :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值 :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值 :return: 回归平方和SSR """ y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting) s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_fitting] ssr = sum(s_list) return ssr def __sse(y_fitting, y_no_fitting): """ 计算SSE(error sum of squares) 残差平方和 :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值 :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值 :return: 残差平方和SSE """ s_list = [(y_fitting[i] - y_no_fitting[i])**2 for i in range(len(y_fitting))] sse = sum(s_list) return sse def goodness_of_fit(y_fitting, y_no_fitting): """ 计算拟合优度R^2 :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值 :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值 :return: 拟合优度R^2 """ SSR = __ssr(y_fitting, y_no_fitting) SST = __sst(y_no_fitting) rr = SSR /SST return rr举个栗子: import random import matplotlib.pyplot as plt # 生成待拟合数据 a = np.arange(10) # 通过添加正态噪声，创造拟合好的数据 b = a + 0.4 * np.random.normal(size=len(a)) print("原始数据为: ", a) print("拟合数据为: ", b) rr = goodness_of_fit(b, a) print("拟合优度为:", rr) plt.plot(a, a, color="#72CD28", label='原始数据') plt.plot(a, b, color="#EBBD43", label='拟合数据') plt.legend() plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号 plt.savefig(r"C:\Users\Yunger_Blue\Desktop\temp.jpg") plt.show()结果为: 原始数据为: [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] 拟合数据为: [0.23705933 1.20951491 2.37326542 3.00448608 3.48391211 4.30719527 5.95446175 7.50969723 8.97662945 8.27064816] 拟合优度为: 0.9971013400436336
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