东风夜放花千树，更吹落，星如雨      

 设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f，对于 D D D中的每一个点 z z z，都有一个或多个复数 w w w与之对应，则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数，简称为复变函数，记为 w = f ( z )   , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,z∈D 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值，那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的，如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值，那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。  复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y )   ,   v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来，设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi， z = x + y i z=x+yi z=x+yi，则 w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

 对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi，称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数，记作 w = e z w=e^z w=ez，即 w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {​∣ez∣=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,…)​ 指数函数是单值函数，且在复平面上处处有定义。  （注：这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下，函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ，在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的，所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。）  复指数函数具有以下性质： e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez​=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1​+z2​=e1z​e2z​ e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} e−z=ez1​ e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=1

 指数函数的反函数，即满足方程 e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z​=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数，记作 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z。  对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi ∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u ∣z∣=∣ew∣=eu A r g   z = A r g   e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以 u = l n ∣ z ∣   , v = A r g   z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=ln∣z∣ ,v=Arg z L n   z = l n ∣ z ∣ + i A r g   z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=ln∣z∣+iArg z(z​=0) w = L n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=ln∣z∣+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,…) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示，所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0​时，可以得到对数函数的一个分支，对数函数的每一个分支都是单值函数。   k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z的主分支，对应的函数值为函数主值，记为 l n   z ln\ z ln z，有 l n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=ln∣z∣+iarg z(z​=0)  对数函数有如下性质 L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 + L n   z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1​z2​)=Ln z1​+Ln z2​ L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 − L n   z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2​z1​​)=Ln z1​−Ln z2​ 等式两边都是多值函数，等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理，下面的式子不成立 L n   z n ≠ n L n   z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn​=nLn z L n   z n ≠ 1 n L n   z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz ​​=n1​Ln z

 设 a a a是复常数，对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z​=0，称复变数 w = e a L n   z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数，即 w = z a = e a L n   z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数，且 z = 0 z=0 z=0时，规定 z a = 0 z^a=0 za=0。  指数函数的取值性需要分情况讨论。  (1)当 a = n a=n a=n为整数时 w = z n = e n L n   z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=enln∣z∣+(narg z)i+2nkπi=enln∣z∣+(narg z)i(k=0,±1,±2,…) 所以此时幂函数为单值函数，当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n0 q>0）为有理数时 w = z a = e p q L n   z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g   z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqp​Ln z=eqp​[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=eqp​ln∣z∣+(qp​arg z)i+2qp​kπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g   z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g   z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqp​ln∣z∣[cosqp​(arg z+2kπ)+isinqp​(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,…)  根据三角函数的周期性，函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp​具有 q q q个不同的值，当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,…,q−1时可以取得。  (3)当 a a a为无理数或虚数时，幂函数是无穷多值的，在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义，每一个单值分支对应于 L n   z Ln\ z Ln z的一个单值分支。

 分别称 cos ⁡ ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+e−iz​sin(z)=2ieiz−e−iz​ 为复变数的余弦函数和正弦函数。  三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性，但不再具有有界性，且 cos ⁡ 2 z + sin ⁡ 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ⁡ ( z + π 2 ) = − sin ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π​)=−sin(z),cos(z+π)=−cosz sin ⁡ ( z + π 2 ) = cos ⁡ ( z ) , sin ⁡ ( z + π ) = − sin ⁡ z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π​)=cos(z),sin(z+π)=−sinz sin ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − cos ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1​+z2​)=sinz1​cosz2​−cosz1​sinz2​ cos ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1​+z2​)=cosz1​cosz2​−sinz1​sinz2​ 同理可以定义复变数的正切，余切，正割，余割函数。 tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z , csc ⁡ z = 1 sin ⁡ z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz​,cotz=sinzcosz​,secz=cosz1​,cscz=sinz1​

 余弦函数的反函数，满足 cos ⁡ w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数，记作 w = A r c cos ⁡ z w=Arc\cos z w=Arccosz  根据 cos ⁡ w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+e−iw​=z可以解得 w = A r c cos ⁡ z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=−iLn(z+z2−1 ​)  z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z2−1 ​是双值函数， L n   z Ln\ z Ln z是多值函数，所以反余弦函数是多值函数。  同理可以定义反正弦函数和反正切函数 w = A r c sin ⁡ z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=−iLn(zi+1−z2 ​) w = A r c tan ⁡ z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=−2i​Lni+zi−z​  它们都是多值函数。

 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在 z 0 z_0 z0​的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0​,ρ)内有定义， A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε，总存在正实数 δ < ρ \delta