算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。

每一个比1大的自然数N只能有一种方式分解成质数的乘积。

推论：若一个质数p是乘积ab的因子，则p不是a的因子就是b的因子。

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质\数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设，其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都都可以写成质数的乘积。从而 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得《几何原本》和维基百科上的方法都是先证明推论，再证明定理的方法。维基百科的方法可参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86

欧几里得《几何原本》的介绍可参考：http://dulang.blog.sohu.com/717224.html

欧几里得《几何原本》的证明方法

先证明推论：对应于《几何原本》第7卷第30命题，设（7-30）

命题描述：以现在的数学语言，若质数p|ab，则不p|a就p|b

设c=ab；p为质数，若p量尽a，得证；若p量不尽a（即p不是a的因子），证明p量尽b即得证。

根据（7-29），因为p为质数，且p量不尽a，所以p、a互质。

用反证法证明如下：设p、a不互质，将有公因子m，因为m是a的因子，p不是a的因子，所以m不等于p，而m是p的因子，这是不可能的。

根据（7-定义15），c/p=t，得到c=pt，又c=ab，根据（7-19）得到p/a=b/t

根据（7-21），因为p、a互质，p、a是具有相同比的数对中最小的一对。

再根据（7-20），大小两数a、p分别量尽具有同比的大小两数t、b，所得的次数相同，即前项量尽前项、后项量尽后项，所以p量尽b，即得证。

最后一条定理（7-20）证明的难度较大，特证明如下：

命题：设a、b是与a/b有相同比的数对中最小的一对数，如果a/b=c/d，则a=(1/n)*c；b=(1/n)*d。

证明：因为a