敲到码穷处，望尽天涯路。🍋

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

  粒子群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO) 是一种通过 模拟鸟群觅食行为 而发展起来的一种 基于群体协作 的 随机搜索 算法。

  设想这样一个场景：一群🐦在随机搜索🐛。在这个区域处处分散着虫子。所有的🐦都不知道🐛最集中的地方在哪里。   但是它们知道各自目前位置的虫子密度 和 其他鸟周围的虫子密度。那么找到目标地点的最优策略是什么呢？

  最简单有效的策略就是：

1. 众鸟一起去搜寻 目前在虫子密度区域最大的鸟 的周围区域。

2. 根据自己飞行的经验，来判断虫子密度最大的区域的所在。

算法核心思想：PSO的基础是 信息的“社会共享”

  和蚁群算法、遗传算法类似，包括粒子群算法，这三者都属于 无约束 的优化算法，属于全局搜索算法，是 启发式 算法。

  它只能够得到 全局最优的近似解 ，可能得不到全局最优解。

  这些算法可以用在全局路径搜索、网络路由规划、寻找复杂函数的最值点等应用，比如 TSP路线搜索。

   该算法可以用在，关于 大数据、复杂度高、目标函数复杂的 要求要解出最优值 的问题中。

   也可将其作为辅助模型来搭配主流模型，将两个模型的结果做一个对比、分析。看看智能优化算法与主流模型的差距。

  在PSO中，搜索空间中的每一只鸟 对应 优化问题的每个解。我们将 “鸟” 称之为 “粒子” 。

  所有的粒子都有一个 “随身携带” 的属性，即需优化的目标函数所计算出的适应值(fitness value)。每个粒子还有两个属性一个是飞翔的速度，另一个是当前的位置。   然后粒子们就追随当前的 最优 粒子，动态地在解空间中搜索全局最优解。

  我们以两个例子(第2个例子在 十、拓展 一栏)作跳板，从 1维 到 多维 ， 由易到难。

  假设我现在要解决 1维 空间的问题（比如：求如下函数的最大值问题） f ( x ) = − ( x − 10 ) 2 + x × s i n ( x ) c o s ( 2 x ) − 5 x × s i n ( 3 x ) ， 其 中 ， x ∈ [ 0 , 20 ] f(x)= - (x - 10) ^ 2 + x\times sin(x) cos(2x) - 5 x \times sin(3x) ，其中，x∈[0,20] f(x)=−(x−10)2+x×sin(x)cos(2x)−5x×sin(3x)，其中，x∈[0,20]

  在 D = 1 D=1 D=1 维的空间里，初始化有 N N N 个粒子，这些粒子分别初始化有以下属性 ( 因为这些粒子只能在 x x x轴上运动，所以我称之为一维 )：

  ①第 i i i 个粒子的位置： x i ， i = 1 , 2 , . . . , N x_i，i=1,2,...,N xi​，i=1,2,...,N

  ②第 i i i 个粒子的速度： v i ， i = 1 , 2 , . . . , N v_i，i=1,2,...,N vi​，i=1,2,...,N

  ③第 i i i 个粒子所经过的最好的位置： p b e s t i ， i = 1 , 2 , . . . , N pbest_i，i=1,2,...,N pbesti​，i=1,2,...,N   注：“pbest” 中的 “p” 指得是 “PSO” 中的 “P” → Particle(中文翻译：粒子)

  ④整个粒子群所经过的最好的位置： g b e s t gbest gbest   注：“gbest” 中的 “g” 指得是 Group .

  ⑤给所有粒子的 位置 加上限制： x l i m i t i ∈ [ X m i n , X m a x ] ， i = 1 , 2 , . . . , N xlimit_i∈[X_{min},X_{max}]，i=1,2,...,N xlimiti​∈[Xmin​,Xmax​]，i=1,2,...,N。   在上面这个例子里面就是 x l i m i t i ∈ [ 0 , 20 ] ， i = 1 , 2 , . . . , N xlimit_i∈[0,20]，i=1,2,...,N xlimiti​∈[0,20]，i=1,2,...,N

  ⑥给所有粒子的 速度 加上限制： v l i m i t i ∈ [ V m i n , V m a x ] ， i = 1 , 2 , . . . , N vlimit_i∈[V_{min},V_{max}]，i=1,2,...,N vlimiti​∈[Vmin​,Vmax​]，i=1,2,...,N

  ⑦设置迭代次数 i t e r iter iter。这个例子我假设 i t e r = 50 iter=50 iter=50 。

  ⑧设在每次迭代过程中，粒子们的自我学习因子 c 1 c_1 c1​ 。它用来调节 粒子每次移动的步长 受 “自我” 的影响因素大小。

  ⑨设在每次迭代过程中，粒子们的群体学习因子 c 1 c_1 c1​ 。它用来调节 粒子每次移动的步长 受 “群体” 的影响因素大小。

  ⑩设在每次迭代过程中，粒子们的惯性权重为 w w w 。它是一个非负数，用来体现 继承上一刻自己速度的 “能力”。

  这里的适应度函数就是 f ( x ) = − ( x − 10 ) 2 + x × s i n ( x ) c o s ( 2 x ) − 5 x × s i n ( 3 x ) f(x)= - (x - 10) ^ 2 + x\times sin(x) cos(2x) - 5 x \times sin(3x) f(x)=−(x−10)2+x×sin(x)cos(2x)−5x×sin(3x)

  将第 i i i 个粒子当前的位置 x i x_i xi​ 带入即可得到 该粒子当前的适应度 f ( x i ) f(x_i) f(xi​) 。

   更新 第 i i i 个粒子的个体最佳适应度 f p b e s t ( x i ) f_{pbest}(x_i) fpbest​(xi​) 和 群体整体的最佳适应度 f g b e s t f_{gbest} fgbest​。这两个不仅可以用来画后面的 收敛图，还可以用到 第五步中的方案② 。

  再根据 f p b e s t ( x i ) f_{pbest}(x_i) fpbest​(xi​) 更新 粒子的最佳位置 p b e s t i ， i = 1 , 2 , . . . , N pbest_i，i=1,2,...,N pbesti​，i=1,2,...,N。

  再从这些 最佳位置 p b e s t i pbest_i pbesti​ 中找到一个群体的最佳位置 g b e s t gbest gbest ，叫做 本次迭代 的全局最佳位置。

  更新公式如下： v i = v i × w + c 1 × r a n d ( ) × ( p b e s t i − x i ) + c 2 × r a n d ( ) × ( g b e s t − x i ) v_i = v_i \times w + c_1 \times rand() \times ( pbest_i - x_i) + c_2 \times rand() \times (gbest - x_i) vi​=vi​×w+c1​×rand()×(pbesti​−xi​)+c2​×rand()×(gbest−xi​) x i = x i + v i x_i=x_i+v_i xi​=xi​+vi​  说明：①rand() 是 matlab 里面的一个产生 [0,1]之间的随机数函数 。

     ②若在迭代过程中，第 i i i 个粒子的位置 x i x_i xi​ 超过了边界 [ X m i n , X m a x ] [X_{min},X_{max}] [Xmin​,Xmax​] ，则该粒子的 x i x_i xi​ 被调节为 X m i n X_{min} Xmin​ 或 X m a x X_{max} Xmax​。(看它是超过了下限还是上限)。同理，对于 v i v_i vi​ 也是这样处理。

  终止条件一般有这两种方案：

    ①达到设定迭代次数。

    ②某一指标与理想目标的差值满足某一最小界限。(可以理解为精度达到某一要求)

  若未达到终止条件，则转到第二步。对于这个样例，我采用的是 “终止方案①”。