如标题所示，这是一类经典而又有趣的轨迹方程，这里就先附上成果来博眼球[滑稽]

这个动画是用desmos做的，代码开源会放在文末的链接里。该专栏前面的大篇幅则是对轨迹方程求解的推导以及性质的分析。方法不是最简的，但能求出精确解析解的方法就是好方法！下面进入正文~

问题描述：如图，已知一质点P在平面内运动，在运动过程中恒满足：速度(红色箭头所示)方向与指向原点的向量(蓝色箭头所示)的夹角恒为，求质点P的轨迹方程？

解答：

ps:一些高数或数分教材也有提及这道微分方程练习题的求解，多数采用的是比值换元，不过为了修复一个小瑕疵(斜率不存在的情况)，这里考虑利用向量旋转+极坐标换元的方法来推导

由已知条件，即与夹角恒为

这说明将向量逆时针旋转后与速度向量垂直

ps:这里可分为两步：

(1)先逆时针旋转-α，也即顺时针旋转α(一般习惯逆时针为正数)，旋转后速度向量共线

(2)再逆时针旋转90°后就与速度向量垂直

,即有：

展开化简即得微分方程(如下图的第一个绿色方框)：

由于涉及与原点的方位关系，因此这里考虑极坐标化：

再化简即得第二个绿色方框所示的形式

由于这里涉及的都是一些机械的运算，因此扔给软件辅助化简了，适当地借助外力~

由于极径(P到原点距离)ρ>0，故方程可两边约去ρ

再分离变量得：

两边积分即得：

注意这里是-cotα整体作为θ的系数哦

即得轨迹的极坐标方程：

其中为正实数，由P的初始位置决定

这就得到了等角螺线的极坐标方程

(1)当α为锐角时，

可知曲线向原点收缩：

(2)当α为直角时，，此时曲线为一个圆

(1)当α为钝角时，

可知曲线向外发散：

这里需要注意初始位置哦，α为钝角的情况是从里往外发散的

引子：

没错，又是永滑大大的视频给予了启发才写下这篇专栏的~原视频参考：

【竞赛】四小孩追逐问题，相对速度 ，Algodoo模拟

另外的相关视频：

三人追逐  作者：鲁建全

【乐正垂星】开！摆！——渐开线，摆线，与弧度方程  的10:25处

下述则考虑拓展到一般情况

问题描述：

如图，考虑半径为R的圆上等距分布着n条狗：

其中k=0,1,2,...,n-1

ps:狗视为质点，只是一个例子，话说还真可以在desmos上整一张狗头的照片哈哈~

随后按照的顺序追击前者，且每个质点的速度大小均为，求这些小狗跑过的轨迹方程？

解答：

首先根据初始位置和初速度的高度对称性，可知n只狗的运动轨迹是全等的，以及这n只狗始终在一个正n边形相应的n个顶点，因此只需考虑的运动轨迹即可：

初始时刻，小狗的速度与指向原点的向量夹角，该夹角等于正n边形内角的一半，即

根据前文的对称性分析，随后小狗就会一直保持这个夹角去追击小狗，这恰好满足前面铺垫的“等角螺线”的性质，于是小狗的极坐标方程可设为：

将初始位置的极坐标带入解得：

于是

显然，为锐角

由于n≥3，则(n-2)/n