一个恒长旋转向量求导后得到的向量的方向与原向量相比，逆时针旋转了 9 0 ∘ 90^\circ 90∘ ，而求导后得到的向量的长度与旋转角速度有关。

例如 a ⃗ = ( c o s   θ , s i n   θ ) \vec{a}=(cos \ \theta, \quad sin \ \theta) a =(cos θ,sin θ) 1、对 θ \theta θ 求导 d a ⃗ d θ = ( − s i n   θ , c o s   θ ) = [ c o s ( θ + π 2 ) , s i n ( θ + π 2 ) ] \frac{d\vec{a}}{d\theta}=(-sin\ \theta, \quad cos \ \theta)=[cos(\theta+\frac{\pi}{2}), \quad sin(\theta+\frac{\pi}{2})] dθda ​=(−sin θ,cos θ)=[cos(θ+2π​),sin(θ+2π​)] 结论： d a ⃗ d θ \frac{d\vec{a}}{d\theta} dθda ​ 与 a ⃗ \vec{a} a 相比，在方向上逆时针旋转了 90°，长度不变

2、对 t 求导 θ \theta θ 是关于 t t t 的函数， θ = w ⋅ t 或 θ = w ( t ) ⋅ t \theta=w \cdot t \quad 或 \quad \theta=w(t)\cdot t θ=w⋅t或θ=w(t)⋅t前者角速度恒定，后者角速度是关于时间的函数。 d a ⃗ d t = d a ⃗ d θ ⋅ d θ d t = [ d θ d t ⋅ c o s ( θ + π 2 ) , d θ d t ⋅ s i n ( θ + π 2 ) ] \frac{d\vec{a}}{dt}=\frac{d\vec{a}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}=[\frac{d\theta}{dt} \cdot cos(\theta+\frac{\pi}{2}), \quad \frac{d\theta}{dt} \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] dtda ​=dθda ​⋅dtdθ​=[dtdθ​⋅cos(θ+2π​),dtdθ​⋅sin(θ+2π​)] 结论： 所以， d a ⃗ d t \frac{d\vec{a}}{dt} dtda ​ 与 a ⃗ \vec{a} a 相比，在方向上逆时针旋转了 90° ，在长度上变为原来的 w w w 倍，如果 a ⃗ \vec{a} a 作变速圆周运动， d a ⃗ d t \frac{d\vec{a}}{dt} dtda ​ 的长度将会随时间变化。

一个质点以原点为圆心作圆周运动，设它的位移由 r 1 ⃗ \vec{r_1} r1​ ​ 变成 r 2 ⃗ \vec{r_2} r2​ ​ ，如下图所示 d r ⃗ d\vec{r} dr 是位移的变化量， d θ d\theta dθ 是弧度增量。 d r ⃗ = r 2 ⃗ − r 1 ⃗ ∣ r 1 ⃗ ∣ = ∣ r 2 ⃗ ∣ = r d\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1} \\ \quad \\ |\vec{r_1}|=|\vec{r_2}|=r\\ dr =r2​ ​−r1​ ​∣r1​ ​∣=∣r2​ ​∣=r 当 d θ d\theta dθ 很小时， ∣ d r ⃗ ∣ ≈ 弧 长 |d\vec{r}| \approx 弧长 ∣dr ∣≈弧长 根据 弧 度 = 弧 长 半 径 弧度=\frac{弧长}{半径} 弧度=半径弧长​ ，可得 d θ = ∣ d r ⃗ ∣ r d\theta=\frac{|d\vec{r}|}{r} dθ=r∣dr ∣​，使用标量表示： d r = d θ ⋅ r dr=d\theta \cdot r dr=dθ⋅r ，方程两边同时除以 dt ，得: d r d t = r ⋅ d θ d t \frac{dr}{dt}=r \cdot \frac{d\theta}{dt} dtdr​=r⋅dtdθ​，则得到： v = w ⋅ r v=w\cdot r v=w⋅r

这只是大小关系，考虑方向，使用叉乘， v ⃗ = w ⃗ × r ⃗ \vec{v} = \vec{w} \times \vec{r} v =w ×r

阿基米德螺旋线的极坐标方程为： r = a θ ( a > 0 ) r=a\theta \quad (a>0) r=aθ(a>0) 这表示极径与 θ \theta θ 是线性关系，成正比。 它的参数方程为： { x = r ⋅ c o s   θ = a θ ⋅ c o s   θ y = r ⋅ s i n   θ = a θ ⋅ s i n   θ \begin{cases} x=r \cdot cos \ \theta=a\theta \cdot cos \ \theta \\ y=r \cdot sin \ \theta=a\theta \cdot sin \ \theta \end{cases} {x=r⋅cos θ=aθ⋅cos θy=r⋅sin θ=aθ⋅sin θ​ 试图消去参数 x 2 + y 2 = ( a θ ) 2 ⋅ ( s i n 2 θ + c o s 2 θ ) = ( a θ ) 2 其 中 ， θ = a r c t a n ( y x ) x^2+y^2=(a\theta)^2 \cdot (sin^2 \theta + cos^2 \theta)=(a\theta)^2 \quad 其中，\theta=arctan(\frac{y}{x}) x2+y2=(aθ)2⋅(sin2θ+cos2θ)=(aθ)2其中，θ=arctan(xy​) 这个方程无法化为显函数的形式，所以，最好用极坐标方程或参数方程来表示。我们以 θ \theta θ 为参数，用 matlab 画出它的图像。

设 r ⃗ \vec{r} r 为螺旋线的位移， d r ⃗ d t = d r ⃗ d θ ⋅ d θ d t \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} dtdr ​=dθdr ​⋅dtdθ​ .

可见， r ⃗ \vec{r} r 对时间求导只是对 θ \theta θ 求导后乘上一个系数 d θ d t \frac{d\theta}{dt} dtdθ​ 而已，所以我们研究对 θ \theta θ 的导数，而不是对 t t t 的导数。

对螺旋线的参数方程求导

结果如下

这可以看成是两个向量的合成，分别为 ( a ⋅ c o s   θ , a ⋅ s i n   θ ) (a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) (a⋅cos θ,a⋅sin θ) 和 ( − a θ ⋅ s i n   θ , a θ ⋅ c o s   θ ) = [ a θ ⋅ c o s ( θ + π 2 ) , a θ ⋅ s i n ( θ + π 2 ) ] (-a\theta \cdot sin\ \theta,\quad a\theta \cdot cos \ \theta)= [a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] (−aθ⋅sin θ,aθ⋅cos θ)=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)] 分别令 { e t ⃗ = [ a θ ⋅ c o s ( θ + π 2 ) , a θ ⋅ s i n ( θ + π 2 ) ] e n ⃗ = ( a ⋅ c o s   θ , a ⋅ s i n   θ ) \begin{cases} \vec{e_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] \\ \vec{e_n}=(a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) \\ \end{cases} {et​ ​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]en​ ​=(a⋅cos θ,a⋅sin θ)​

{ v t ⃗ = d θ d t ⋅ e t ⃗ = w ⋅ e t ⃗ v n ⃗ = d θ d t ⋅ e n ⃗ = w ⋅ e n ⃗ \begin{cases} \vec{v_t}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_t}=w\cdot \vec{e_t} \\ \vec{v_n}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_n} =w\cdot \vec{e_n}\\ \end{cases} {vt​ ​=dtdθ​⋅et​ ​=w⋅et​ ​vn​ ​=dtdθ​⋅en​ ​=w⋅en​ ​​ 其中， v n ⃗ \vec{v_n} vn​ ​ 的方向沿着半径向外，是法向速度， v t ⃗ \vec{v_t} vt​ ​ 沿着切线，与 v n ⃗ \vec{v_n} vn​ ​ 垂直，总是指向逆时针方向，是切向速度。

可以看出 w w w 恒定时，切向速度随着 θ \theta θ 的增大而增大，法向速度恒定，此时质点一方面绕着原点作圆周运动，线速度越来越大；另一方面，又以恒定的速度远离原点。

这个切向速度与原来的螺旋线方程比起来有什么规律呢？ 螺旋线参数方程 { x = r ⋅ c o s   θ = a θ ⋅ c o s   θ y = r ⋅ s i n   θ = a θ ⋅ s i n   θ \begin{cases} x=r \cdot cos \ \theta=a\theta \cdot cos \ \theta \\ y=r \cdot sin \ \theta=a\theta \cdot sin \ \theta \end{cases} {x=r⋅cos θ=aθ⋅cos θy=r⋅sin θ=aθ⋅sin θ​ 切向速度 v t ⃗ = [ a θ ⋅ c o s ( θ + π 2 ) , a θ ⋅ s i n ( θ + π 2 ) ] \vec{v_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] vt​ ​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)] 可以发现，切向速度与螺旋线方程比起来就是逆时针旋转了 π 2 \frac{\pi}{2} 2π​ 而已。

使用 matlab 画出切向速度的图像

切向速度可以使用 v ⃗ = w ⃗ × r ⃗ \vec{v} = \vec{w} \times \vec{r} v =w ×r 的公式。（合速度不行）

1、使用方程组得到 v t v_t vt​（ v t v_t vt​ 的标量，即它的大小） { e t ⃗ = [ a θ ⋅ c o s ( θ + π 2 ) , a θ ⋅ s i n ( θ + π 2 ) ] e n ⃗ = ( a ⋅ c o s   θ , a ⋅ s i n   θ ) \begin{cases} \vec{e_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] \\ \vec{e_n}=(a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) \\ \end{cases} {et​ ​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]en​ ​=(a⋅cos θ,a⋅sin θ)​

{ v t ⃗ = d θ d t ⋅ e t ⃗ = w ⋅ e t ⃗ v n ⃗ = d θ d t ⋅ e n ⃗ = w ⋅ e n ⃗ \begin{cases} \vec{v_t}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_t}=w\cdot \vec{e_t} \\ \vec{v_n}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_n} =w\cdot \vec{e_n}\\ \end{cases} {vt​ ​=dtdθ​⋅et​ ​=w⋅et​ ​vn​ ​=dtdθ​⋅en​ ​=w⋅en​ ​​ 则标量方程为： { v t = w a θ = w 2 a t v n = w a \begin{cases} v_t=wa\theta =w^2at\\ v_n=wa \\ \end{cases} {vt​=waθ=w2atvn​=wa​ 2、使用 v ⃗ = w ⃗ × r ⃗ \vec{v} = \vec{w} \times \vec{r} v =w ×r 得到 v t v_t vt​ v t = w r = w ⋅ a θ = w a ⋅ w t = w 2 a t v_t=wr=w\cdot a\theta=wa\cdot wt=w^2at vt​=wr=w⋅aθ=wa⋅wt=w2at 这两种方式得到的 v t v_t vt​ 一样，可见，对于任意的曲线运动，它的切向速度总是适用 v ⃗ = w ⃗ × r ⃗ \vec{v} = \vec{w} \times \vec{r} v =w ×r ，但是它的合速度不能盲目地使用这个公式。

两条互差 180° 得阿基米德螺旋线就是蚊香得形状

在一个平面上切割两条阿基米德螺旋线，然后横着切两刀，剩下的部分丢掉，把要的部分扒开就是两盘蚊香了。