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等体过程
贡献者： FFjet 预备知识 理想气体状态方程等体过程的特征是气体的体积保持不变，即 $V $ 为常量，$\mathrm dV=0$。设有一气缸，活塞保持固定不动，把气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触，使气体的温度逐渐上升，压强增大，但是气体的体积保待不变。这样的准静态过程是一个等体过程（isochoric process），如图 1 所示。 
图 1：气体的等体过程
如图 2 所示，在等体过程中，$\mathrm dV=0$，所以 $ \,\mathrm{d}{W} =0$。根据热力学第一定律，得 \begin{equation} \,\mathrm{d}{Q} _{V}= \,\mathrm{d}{E} ~. \end{equation}
图 2：等体过程中功的计算
为了计算向气体传递的热量，我们要用到摩尔热容的概念：同一种气体在不同过程中，有不同的热容。最常用的是等体过程与等压过程中的两种热容。气体的摩尔定容热容（molar heal capacity at constant volume），是指 $1 \rm mol$ 气体在体积不变的条件下，温度改变 $1\mathrm{K}$（或 $1^\circ \mathrm{C}$）所吸收或放出的热量，用 $C_{V,m}$ 表示，其值可由实验测定。这样，质量为 $m $ 的气体在等体过程中，温度改变 $\mathrm dT $ 时所需要的热量就是 \begin{equation} \,\mathrm{d}{Q} _{V}=\frac{m}{M} C_{V, {m}} \,\mathrm{d}{T} ~. \end{equation} 作为 $C_{V,m}$ 的定义式，可将上式改成写成： \begin{equation} C_{V, m}=\frac{ \,\mathrm{d}{Q} _{V}}{\frac{m}{M} \,\mathrm{d}{T} }~. \end{equation} 把式 2 代入式 1 ，即得： \begin{equation} \,\mathrm{d}{E} =\frac{m}{M} C_{V, m} \,\mathrm{d}{T} ~. \end{equation}我们这里需要指出的一点是，式 4 是计算过程中理想气体内能变化的通用式子，不仅仅适用于等体过程。我们知道，理想气体的内能只与温度有关，所以一定质量的理想气体在不同的状态变化过程中，如果温度的增量 $\mathrm dT $ 相同，那么气体所吸取的热量和所做的功虽然随过程的不同而异，但是气体内能的增量却相同，与所经历的过程无关。那么我们看，现在从等体过程中，我们得到了理想气体温度升高 $\mathrm dT $ 时，内能的增量由式 4 给出，那么在任何过程中，都是可以用这个式子来计算理想气体的内能增量的。 我们知道，理想气体的内能为 \begin{equation} E=\frac{m}{M} \frac{i}{2} R T~, \end{equation} 由此得 \begin{equation} \,\mathrm{d}{E} =\frac{m}{M} \frac{i}{2} R \,\mathrm{d}{T} ~. \end{equation} 把式 6 与式 4 相比较，我们可以看出： \begin{equation} C_{V, m}=\frac{i}{2} R~. \end{equation} 上式说明，理想气体的摩尔定容热容是一个只与分子的自由度有关的量，它与气体的温度无关。对于单原子分子气体 $i=3, C_{V, m}=12.5 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$；对于双原子分子气体，不考虑分子的振动，则 $i=5, C_{V, {m}}=20.8 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$；对于多原子分子气体，不考虑分子的振动，则 $i=6, C_{V, {m}}=24.9 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$。 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
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