线性规划问题求解有两种方法 : ① 图解法 , ② 单纯形法 ;

本篇只讨论 两个变量的 图解法 , 在直角坐标系中进行绘图 ;

图解法意义 :

使用图解法解下面的线性规划问题 :

m a x Z = 2 x 1 + x 2 s . t = { x 1 + 1.9 x 2 ≥ 3.8 x 1 − 1.9 x 2 ≤ 3.8 x 1 + 1.9 x 2 ≤ 10.2 x 1 − 1.9 x 2 ≥ − 3.8 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} max Z = 2x_1 + x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 1.9x_2 \geq 3.8\\\\ x_1 - 1.9x_2 \leq 3.8\\\\ x_1 + 1.9x_2 \leq 10.2\\\\ x_1 - 1.9x_2 \geq -3.8\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array} maxZ=2x1​+x2​s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+1.9x2​≥3.8x1​−1.9x2​≤3.8x1​+1.9x2​≤10.2x1​−1.9x2​≥−3.8x1​,x2​≥0​​

大于等于 不等式 需要取直线 右侧区域 ; 小宇等于 不等式 需要取直线 左侧区域 ;

四条直线 形成一个 四边形区域 ;

绘制目标函数 , 使 2 x 1 + x 2 2x_1 + x_2 2x1​+x2​ 与 上述 四边形相交 , 取最大值 , 经过计算 , 得到的结果最大为 20 20 20 , 此时 x 1 = 7.6 , x 2 = 2 x_1 = 7.6 , x_2 = 2 x1​=7.6,x2​=2

使用图解法解下面的线性规划问题 :

m a x Z = 3 x 1 + 5.7 x 2 s . t = { x 1 + 1.9 x 2 ≥ 3.8 x 1 − 1.9 x 2 ≤ 3.8 x 1 + 1.9 x 2 ≤ 10.2 x 1 − 1.9 x 2 ≥ − 3.8 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 5.7x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 1.9x_2 \geq 3.8\\\\ x_1 - 1.9x_2 \leq 3.8\\\\ x_1 + 1.9x_2 \leq 10.2\\\\ x_1 - 1.9x_2 \geq -3.8\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array} maxZ=3x1​+5.7x2​s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+1.9x2​≥3.8x1​−1.9x2​≤3.8x1​+1.9x2​≤10.2x1​−1.9x2​≥−3.8x1​,x2​≥0​​

大于等于 不等式 需要取直线 右侧区域 ; 小宇等于 不等式 需要取直线 左侧区域 ;

四条直线 形成一个 四边形区域 ;

绘制目标函数 , 使 3 x 1 + 5.7 x 2 3x_1 + 5.7x_2 3x1​+5.7x2​ 与 上述 四边形相交 , 取最大值 , 注意该函数 图像在 坐标系中 与 x 1 + 1.9 x 2 = 10.2 x_1 + 1.9x_2 = 10.2 x1​+1.9x2​=10.2 图像是平行的 , 即在可行区域内 , 整个线段上所有的点都是最优解 ; 这个最优解的个数是无穷多个 ; 经过计算 , 得到的结果最大为 34.2 34.2 34.2 , 此时 ( 3.8 , 4 ) 到 ( 7.6 , 2 ) ( 3.8 , 4 ) 到 ( 7.6 , 2 ) (3.8,4)到(7.6,2) 线段之间的所有的点都是最优解

使用图解法解下面的线性规划问题 :

m i n Z = 5 x 1 + 4 x 2 s . t = { x 1 + 1.9 x 2 ≥ 3.8 x 1 − 1.9 x 2 ≤ 3.8 x 1 + 1.9 x 2 ≤ 10.2 x 1 − 1.9 x 2 ≥ − 3.8 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} min Z = 5x_1 + 4x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 1.9x_2 \geq 3.8\\\\ x_1 - 1.9x_2 \leq 3.8\\\\ x_1 + 1.9x_2 \leq 10.2\\\\ x_1 - 1.9x_2 \geq -3.8\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array} minZ=5x1​+4x2​s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+1.9x2​≥3.8x1​−1.9x2​≤3.8x1​+1.9x2​≤10.2x1​−1.9x2​≥−3.8x1​,x2​≥0​​

大于等于 不等式 需要取直线 右侧区域 ; 小宇等于 不等式 需要取直线 左侧区域 ;

四条直线 形成一个 四边形区域 ;

绘制目标函数 , 使 5 x 1 + 4 x 2 = 0 5x_1 + 4x_2=0 5x1​+4x2​=0 的 图像的 平行直线 与 上述 四边形相交 , 取最小值 , 经过计算 , 得到的结果最小值为 8 8 8 , 此时 x 1 = 0 , x 2 = 2 x_1 = 0 , x_2 = 2 x1​=0,x2​=2

使用图解法解下面的线性规划问题 :

m a x Z = x 1 + 2 x 2 s . t = { x 1 + 3 x 2 ≥ 6 x 1 + x 2 ≥ 4 3 x 1 + x 2 ≥ 6 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} max Z = x_1 + 2x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 3x_2 \geq 6\\\\ x_1 + x_2 \geq 4\\\\ 3x_1 + x_2 \geq 6\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array} maxZ=x1​+2x2​s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+3x2​≥6x1​+x2​≥43x1​+x2​≥6x1​,x2​≥0​​

大于等于 不等式 需要取直线 右侧区域 ; 小宇等于 不等式 需要取直线 左侧区域 ;

四条直线 无法 形成一个 闭合形区域 , 整体区域是开放的 , 最优解随着 x 1 , x 2 x_1 , x_2 x1​,x2​ 变量增加而增大 , 没有任何限制 此时该线性规划有无数个解 , 并且其最大值没有边界 ; 这种情况下称为线性规划的解是无界解 , 同时也没有最优解 ;

使用图解法解下面的线性规划问题 :

m a x Z = 3 x 1 + 4 x 2 s . t = { 2 x 1 + x 2 ≤ 40 x 1 + 1.5 x 2 ≤ 30 x 1 + x 2 ≥ 50 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2\\\\ s.t = \begin{cases} 2x_1 + x_2 \leq 40\\\\ x_1 + 1.5x_2 \leq 30\\\\ x_1 + x_2 \geq 50\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array} maxZ=3x1​+4x2​s.t=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​2x1​+x2​≤40x1​+1.5x2​≤30x1​+x2​≥50x1​,x2​≥0​​

大于等于 不等式 需要取直线 右侧区域 ; 小宇等于 不等式 需要取直线 左侧区域 ;

绘制目标函数 , 绘制 3 x 1 + 4 x 2 ≥ 0 3x_1 + 4x_2 \geq 0 3x1​+4x2​≥0 的 图像 , 发现 该图像的 任何 平行直线 与 上述 四边形 都不相交 , 这种情况属于没有 可行解 , 同时也没有最优解

线性规划有以下情况的解 : ① 有唯一最优解 , ② 有无穷多最优解 , ③ 无界解 , ④ 无可行解 ;

使用图解法的关键 :