直角坐标系中向量与三个坐标轴的夹角问题

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直角坐标系中向量与三个坐标轴的夹角问题

2024-07-17 06:15:58| 来源: 网络整理| 查看: 265

最近在学习阵列信号处理，发现课件上有一个来波矢量与坐标夹角换算的问题，于是就写了几笔，加以整理得到下面的内容。

设有空间直角坐标系O-XYZ

P点坐标 $\left ( x_0,y_0,z_0 \right )$ ，向量 $\vec{p}$ 与X轴、Y轴和Z轴的夹角分别为α、β和γ。

根据向量点乘的定义：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right |cos\theta$

其中 $\theta$ 为两向量的夹角。变形得到

$cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right |}$

另外，X轴、Y轴和Z轴的单位向量分别为 $\vec{e_1}\left ( 1,0,0 \right ),\vec{e_2}\left ( 0,1,0 \right ),\vec{e_3}\left ( 0,0,1 \right )$ ，因此可计算α、β和γ

$cos\alpha =\frac{\vec{e_1}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_1} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}$

$cos\beta =\frac{\vec{e_2}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_2} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}$

$cos\gamma =\frac{\vec{e_3}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_3} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{z_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}$

三个式子取平方和，得到

$cos^2\alpha +cos^2\beta+cos^2\gamma=\frac{x_0^2+y_0^2+z_0^2}{\left ( \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2} \right )^2}=1$

即：

$cos^2\alpha +cos^2\beta+cos^2\gamma=1$

也就是说，一个向量与空间直角坐标系的三个坐标轴所成夹角余弦的平方和为1。

==========2023.11.12 更新============

【推广】

n维空间直角坐标系中有一点P，坐标 $\left ( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right )$ ，向量 $\vec{p}$ 与 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 轴的夹角分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n$ 。

$X_1,\cdots ,X_i,\cdots ,X_n$ 轴单位向量分别为:

$\vec{e_1}\left ( 1,0,\cdots ,0 \right ),\cdots ,\vec{e_i}\left ( 0,\cdots ,0,1_i,0,\cdots ,0 \right ),\cdots ,,\vec{e_n}\left ( 0,\cdots ,0,1 \right )$

因此可计算 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n$ :

$cos\alpha_1 =\frac{\vec{e_1}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_1} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}}$

``````

$cos\alpha_i =\frac{\vec{e_i}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_i} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}}$

``````

$cos\alpha_n =\frac{\vec{e_n}\cdot \vec{p}}{\left | \vec{e_n} \right | \left | \vec{p} \right |}=\frac{x_n}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}}$

n个式子取平方和，得到

$cos^2\alpha_1 +cos^2\alpha_2+\cdots +cos^2\alpha_n=\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{\left ( \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2} \right )^2}=1$

即：

$cos^2\alpha_1 +cos^2\alpha_2+\cdots +cos^2\alpha_n=1$

也就是说，n维空间直角坐标系中的一个向量与该坐标系的n个坐标轴所成夹角余弦的平方和为1。

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