高等数学:第五章 定积分(4) 定积分的换元法 |
您所在的位置:网站首页 › 积分法公式例题 › 高等数学:第五章 定积分(4) 定积分的换元法 |
§5.4 定积分的换元法 一、换元公式 【定理】若 1、函数 2、函数 3、当
则有
证明: (1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。 假设 另一方面, 函数 这表明: 函数 从而有 对这一定理给出几点注解: 1、用替换 求出 2、应注意代换的条件,避免出错。 (1)、 (2)、 3、对
【例1】求 【解法一】 令 当 又当 且变换函数 由换元公式有
【解法二】令 当 又当 且变换函数 由换元公式有 注意: 在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。 换元公式也可以反过来, 即 【例2】求 解:设 当
一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。 二、常用的变量替换技术与几个常用的结论 【例3】证明 1、若 2、若 证明:由定积分对区间的可加性有
对 故有
若 若 【例4】若 1、 2、 并由此式计算定积分
1、证明:设
2、证明: 设
【例5】求 解:令 故 评注: 这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。
|
今日新闻 |
点击排行 |
|
推荐新闻 |
图片新闻 |
|
专题文章 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 win10的实时保护怎么永久关闭 |