(1) 这曲线弧对 x x x 轴、对 y y y 轴的转动惯量 I x 、 I y I_x 、 I_y Ix​、Iy​;

(2) 这曲线弧的质心坐标 x ˉ 、 y ˉ \bar{x} 、 \bar{y} xˉ、yˉ​.

(1) ∮ L ( x 2 + y 2 ) n   d s \oint_L\left(x^2+y^2\right)^n \mathrm{~d} s ∮L​(x2+y2)n ds, 其中 L L L 为圆周 x = a cos ⁡ t , y = a sin ⁡ t ( 0 ⩽ t ⩽ 2 π ) x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi) x=acost,y=asint(0⩽t⩽2π);

(2) ∫ L ( x + y ) d s \int_L(x+y) \mathrm{d} s ∫L​(x+y)ds, 其中 L L L 为连接 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) 及 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 两点的直线段;

(3) ∮ L x   d s \oint_L x \mathrm{~d} s ∮L​x ds, 其中 L L L 为由直线 y = x y=x y=x 及抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2 所围成的区域的整个边界;

(4) ∮ L e x 2 + y 2   d s \oint_L \mathrm{e}^{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} s ∮L​ex2+y2 ​ ds, 其中 L L L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2, 直线 y = x y=x y=x 及 x x x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

(5) ∫ Γ 1 x 2 + y 2 + z 2   d s \int_{\Gamma} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} s ∫Γ​x2+y2+z21​ ds, 其中 Γ \Gamma Γ 为曲线 x = e t cos ⁡ t , y = e t sin ⁡ t , z = e t x=\mathrm{e}^t \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^t x=etcost,y=etsint,z=et 上相应于 t t t 从 0 变到 2 的这段弧;

(6) ∫ r x 2 y z   d s \int_r x^2 y z \mathrm{~d} s ∫r​x2yz ds, 其中 Γ \Gamma Γ 为折线 A B C D A B C D ABCD, 这里 A 、 B 、 C 、 D A 、 B 、 C 、 D A、B、C、D 依次为点 ( 0 , 0 , 0 ) 、 ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,0) 、(0,0,2) (0,0,0)、(0,0,2) 、 ( 1 , 0 , 2 ) 、 ( 1 , 3 , 2 ) (1,0,2) 、(1,3,2) (1,0,2)、(1,3,2);

(7) ∫ L y 2   d s \int_L y^2 \mathrm{~d} s ∫L​y2 ds, 其中 L L L 为摆线的一拱 x = a ( t − sin ⁡ t ) , y = a ( 1 − cos ⁡ t ) ( 0 ⩽ t ⩽ 2 π ) x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi) x=a(t−sint),y=a(1−cost)(0⩽t⩽2π);

(8) ∫ L ( x 2 + y 2 ) d s \int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s ∫L​(x2+y2)ds, 其中 L L L 为曲线 x = a ( cos ⁡ t + t sin ⁡ t ) , y = a ( sin ⁡ t − t cos ⁡ t ) ( 0 ⩽ t ⩽ 2 π ) x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi) x=a(cost+tsint),y=a(sint−tcost)(0⩽t⩽2π).

ρ ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 . 求:  \rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 \text {. 求: } ρ(x,y,z)=x2+y2+z2. 求:  (1) 它关于 z z z 轴的转动惯量 I z I_z Iz​;

(2) 它的质心.