今天给大家带来的是第一型曲线积分的一道经典好题，出自张宇2020年高数十八讲第十七讲例题17.10，其中包含三个情况下的求解过程。

        这道题目中知识点：球被平面所切的圆的半径在历年真题的填空题中频繁出现，是一个需要额外掌握的知识点。除此之外，这道题目对技巧法求解第一型曲线积分展现得淋漓尽致。

        第一型曲线积分求解思路，第一步永远是回代，看看被积分函数是否能够用曲线方程进行回代，如果不行，再看曲线是否存在奇偶性，轮换对称性或者是通过形心公式化简积分的计算。

        那么这道题目中，为什么要去利用轮换对称性把原本的x+y转化成2/3（x+y+z）呢？原因在于给出的曲线方程中具有x+y+z的信息，我们可以利用这个数值简化计算。相对应的平方项也是这样的思路，否则算起来会很麻烦。

        首先对于过圆心平面x+y+z=0，比较容易知道的是该平面与球的相交部分是一个圆，且半径为球体的半径a，对于被积分函数，需要做的事情无疑是展开，展开后通过技巧法化简题目。

展开后，由于相交面这个大圆是经过原点的，很明显，对于这个圆，是关于原点对称的，也就是说当积分函数是x，y，z的奇数次方的时候，积分值可以立即得出0。

进一步看曲线表达式，交换x，y和z中任意两个字母，表达式不会改变，因此获得信息，该曲线具有轮换对称性，进而在之后的解题过程中化简题目。

对于【注一】，此时截球体的平面x+y+z=a不再经过球心，此时需要额外计算交面圆的半径，利用点到平面距离公式以及球的半径，根据勾股定理即可求出小圆的半径，接下来的思路和之前没有太大区别。

【注二】这里对截取的平面进行了修改，再XOY面上x+y=0为一条直线，由于其z不定，这条直线在纵坐标上任意移动形成了一个平面，进一步的，我们失去了z与x和y之间的对称性，因为交换x和z会导致x+y=0变为z+y=0，此时表达式改变。

但是x和y之间仍然具有对称性，我们仍然可以使用形心公式的逆用去计算，因为圆心是在（0，0）点，所以很容易获得积分函数为4x-6y的积分值为0。

比较头疼的在于平方项，我们利用x和y的对称性简化方程，再利用一型曲线积分直接法求解即可，在转化为参数方程形式的时候只需要记得利用三角函数去替代平方项即可。

        以上就是今天更新的全部内容了，这道题目在真题中相关题目出现次数不下三次，而且我也没有刷过真题，都是在讲课的时候老师拿出来举例子的，我就见过不下三次了，此题重要性可见一斑。