已有 37817 次阅读 2009-5-25 16:41 |个人分类:教育点滴|系统分类:科普集锦

我在前一篇博文《测度之伟大(I)--如何由几乎处处收敛做到一致收敛？》中谈到了如何由几乎处处收敛（或者处处收敛）得到一致收敛，收敛的方式决定了极限函数的性质，叶果洛夫（Egoroff）定理的伟大之处在于通过它可以将一个几乎处处收敛函数序列的定义域做适当修改从而使得该序列一致收敛，于是与之相关的问题迎刃而解，因为在一致收敛条件下诸如连续性、可积性等问题是显而易见的。但它与最终解决积分与极限的交换顺序问题尚有一段距离。回顾一下前篇文章中的两个例子：

例1： fn(x)=xn, x∈(0,1)，

fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。

      例2：gn(x)=(n+1)xn,  x∈(0,1)，

gn(x) 同样在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。

然而这两个函数列有很大不同，分别对两者做积分我们看到：

∫（0，1）fn（x）dx=1/(n+1)→0=∫(0,1)0dx

∫（0，1）gn（x）dx=1≠0。

这就是说，尽管我们将（0，1）区间挖掉一个长度充分小的区间（δ，1）后，fn(x) 与gn(x)在（0，δ）上都一致收敛到0，但前者积分与极限可以交换顺序，后者则不然。原因何在？

为了寻找到发生障碍的原因，还是从一致收敛的函数列说起，假设fn(x) 与f(x)是定义在[a，b]（开区间也可，但要保证可积性，那样将涉及到暇积分）上的连续函数序列（假定连续是为了避免讨论可积性），且fn(x)在[a，b]上一致收敛到f(x)，我们知道此时积分与极限是可以交换顺序的，一致收敛性条件很强，多数情况下做不到，那么从一致收敛性条件我们还可以得到关于函数序列的什么特征呢？或许这些特征能告诉我们一些本质的东西，由一致收敛定义知对任意>0