序偶：两个元素按照一定的次序组成的二元组，记为，x为第一元素，y为第二元素

序偶的相等条件：=当且仅当a=c,b=d

n重有序组：n个元素按照一定次序组成的n元组

笛卡尔积：有两个集合A,B，集合A×B={|(x∈A)∧(y∈B)} 为A和B的笛卡尔积

笛卡尔积的性质

关系：A、B两个非空集合，A×B的任意子集R为从A到B的一个二元关系，简称关系。A为R的前域，B为R的后域，如果A=B，则R为A上的一个二元关系

R=0，称R为从A到B的空关系。

当R=A×B，称R为从A到B的全关系。A上全关系记为E_A

当R={|x∈A}时，称R为A上的恒等关系

前域中被关系引用到的元素构成定义域

后域中被关系引用到的元素构成值域

定义域和值域的并集合为R的域

如：A={a1,a2,a3} B={b1,b2,b3} R={,,}

则：R的定义域为{a1,a2}值域为{b1,b2}

A={a1,a2……an}

B={b1,b2……bm}

MR=(mij)n×m

当∈R时mij=1 反之mij=0

MR为R的邻接矩阵

并、交（A、B行数列数相同）：按位对应进行运算

积运算（A(m行p列)，B(p行n列)，结果C(m行n列)）：Cij的确定-A的行与B的列对应相按位与，如果结果不为0，则结果为1

关系是特殊的集合。集合的所有运算都可以运用到关系中，关系的运算也满足集合运算的定律

复合运算：R:A→B S:B→C R°S={|(x∈A)∧(z∈C)∧(∃y)(y∈B∧xRy,ySz)}，°称为复合运算

逆运算R-1表示B到A的关系

R-1的关系矩阵是R的关系矩阵的转置

记R、S、T分别是A到B、B到C、C到D的二元关系

记IA、IBB为A、B上的恒等关系

R°S°T=R°(S°T)

IA°R=R°IB

R°(S1∪S2)=(R°S1)∪(R°S2)

(S1∪S2)°R=(S1°R)∪(S2°R)

R°(S1∩S2)⊆(R°S1)∩(R°S2)

(S1∩S2)°R⊆(S1°R)∩(S2°R)

并、交、差都满足(R∪S)-1=R-1∪S-1 (R°S)-1=R-1°S-1

R的补-1=R-1的补

(R-1)-1=R

S⊆R↔S-1⊆R-1

满足结合律就可以进行幂运算

设R为关系A上的集合

R0=IA

R1=R

Rn+1=Rn°R=R°Rn

幂运算的收敛性A为有限集合|A|=n, R1∪R2……Rn=R1∪R2……R∞

设R是集合A上的元素

对于任意的x∈A，都有∈R，那么称R在A上是自反的，R具有自反性

对于任意的x∈A，都有∉R，那么称R在A上是反自反的，R具有反自反性

存在既不自反也不反自反的关系

关系图中每个节点都自环是自反的，每个节点都不自环是反自反的

关系矩阵的主对角线上全为1是自反的，全为0是反自反的

对于任意的x,y∈A，如果∈R，且∈R，则称R是对称的，R具有对称性

对于任意的x,y∈A，如果∈R，且∈R，仅在x=y下满足，则称R是反对称的，R具有反对称性

关系图中：一对节点间要么有方向相反的两条边要么无边，是对称的；任何一对节点之间至多只有一条边是反对称的

关系矩阵中：对称矩阵对应的关系是对称的

对于任意的x,y,z∈A，若∈R,∈R,∈R,则称R是传递的，R具有传递性

传递：R°R⊆R

具有特殊性质的关系经过运算后保持原有特殊性质的

逆和交运算可以保持原属性

并只能保持自反、反自反、对称

复合只能保持自反

差可以保持反自反、对称、反对此

闭包：在给定关系中添加最少的元素，使其具有需要的特殊性质